Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 1 7 2 5 3 3 2 7 3 5 1 4 1 3 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Komplement zu einer Teilmenge in einer Menge .
  2. Eine konstante Abbildung .
  3. Die Summe zweier natürlicher Zahlen und .
  4. Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge .
  5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen .
  6. Eine fallende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Differenz und endliche Mengen.
  2. Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
  3. Der Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.


Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Eine Geldfälscherin stellt - und -Euro-Scheine her.

  1. Zeige, dass es nur endlich viele (volle) Eurobeträge gibt, die sie nicht (exakt) begleichen kann.
  2. Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann?
  3. Beschreibe (ohne weitere Begründung) die Menge der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann.


Aufgabe * (1 Punkt)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller gehen auf die gleiche Schule. Heinz wohnt vier Kilomter von der Schule entfernt, Mustafa dagegen drei Kilometer. Was kann man darüber sagen, wie weit die beiden voneinander entfernt wohnen?


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass das Produkt von zwei ungeraden natürlichen Zahlen ungerade ist.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Beweise für die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen

  1. die Verträglichkeit mit der Addition,
  2. die Verträglichkeit mit der Multiplikation.


Aufgabe * (3 Punkte)

Squares in a square grid.svg

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein Punkt gelte nicht als Quadrat.


Aufgabe * (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Der Professor sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Für eine Opernaufführung braucht man für die verschiedenen Rollen eine Altstimme, zwei Sopranstimmen, zwei Tenorstimmen und einen Bass. Im Ensemble stehen zwei Altstimmen, drei Sopranistinnen, vier Tenöre und drei Bässe zur Verfügung.

  1. Wie viele Besetzungsmöglichkeiten für die Rollen gibt es?
  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Mitwirkenden auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Rolle?


Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit und .

  1. Zeige
  2. Zeige (in )


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine fixierte natürliche Zahl und

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

und

Zeige, dass mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne

Minus eins hoch fünfundzwanzig Millionen dreihundertvierundachtzig Tausend zweihundertneunundsechzig.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Bestimme für .
  2. Was ist die kleinste Zahl mit
  3. Was ist die kleinste Zahl mit


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne im Vierersystem

(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsmenge in für die Ungleichung


Aufgabe * (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?