Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 2 3 2 2 4 4 4 1 2 5 3 2 8 3 4 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Der Graph zu einer Abbildung .
  3. Die Assoziativität einer Verknüpfung
  4. Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge .
  5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .
  6. Ein gemischter Bruch.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
  2. Der Satz über die Teilmengenanzahl einer endlichen Menge.
  3. Der Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper .


Aufgabe * (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

  1. Erstelle eine Wertetabelle, die für die natürlichen Zahlen von bis ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
  2. Was ist der kleinste volle Geldbetrag, für den man mindestens vier Bargeldmittel einsetzen muss?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring durch Induktion über , wobei der Fall verwendet werden darf (dabei sind natürliche Zahlen und ).


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die einzigen natürlichen Zahlen, die die Gleichung

erfüllen, die und die sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von bei Division durch .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.


Aufgabe * (4 Punkte)

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz

die nicht palindromisch ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere bzw. Kilogramm.

  1. Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
  2. Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.


Aufgabe * (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Beschreibe in Worten, wie man den Term

    ausrechnet.

  2. Schreibe die Funktion

    als eine Hintereinanderschaltung von möglichst einfachen Abbildungen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jedes der Dezimalbruch

die rationale Zahl mit einem Fehler von maximal approximiert (von unten).


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Periodizitätseigenschaft bei der Division von natürlichen Zahlen.