Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	$\sum$
Punkte	3	3	1	2	4	2	2	4	4	4	1	2	5	3	2	8	3	4	4	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Durchschnitt von Mengen $L$ und $M$.
2. Der Graph zu einer Abbildung $F:L\to M$.
3. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y.$

4. Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge  $T\subseteq \mathbb{N}$. 
5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$.
6. Ein gemischter Bruch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
2. Der Satz über die Teilmengenanzahl einer endlichen Menge.
3. Der Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper $K$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

1. Erstelle eine Wertetabelle, die für die natürlichen Zahlen von $1$ bis $10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
2. Was ist der kleinste volle Geldbetrag, für den man mindestens vier Bargeldmittel einsetzen muss?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring $R$ durch Induktion über $k$, wobei der Fall  $k=2$  verwendet werden darf (dabei sind $n_1,\dots ,n_k$ natürliche Zahlen und $a_{j,i}\in R$).

$\begin{array}{cc}\left(\sum _{i_1=1}^{n_1}{a}_{1,i_1}\right)\cdot \left(\sum _{i_2=1}^{n_2}{a}_{2,i_2}\right)\cdots \left(\sum _{i_k=1}^{n_k}{a}_{k,i_k}\right)& =\sum _{(i_1,i_2,\dots ,i_k)\in \{1,\dots ,n_1\}\times \{1,\dots ,n_2\}\times \cdots \times \{1,\dots ,n_k\}}{a}_{1,i_1}\cdot a_{2,i_2}\cdots a_{k,i_k}.\end{array}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die einzigen natürlichen Zahlen, die die Gleichung

$a^2=a$

erfüllen, die $0$ und die $1$ sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von $123456789$ bei Division durch $8$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien $x$ und $y$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt $xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz

$1001^n,$

die nicht palindromisch ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen  $a,b,c>1$  gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt $a\cdot b\cdot c$ minimal?

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar $11$ und $13$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von $100!$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $116901$ und $138689$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Masse $12$ bzw. $50$ Kilogramm.

1. Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
2. Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.

Aufgabe * (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau $23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Beschreibe in Worten, wie man den Term

   $-\frac{7}{5}\cdot 2^{-3}$

   ausrechnet.

2. Schreibe die Funktion

   $\mathbb{Q}\setminus \{0\}⟶\mathbb{Q},x⟼-\frac{7}{5}{x}^{-3}$

   als eine Hintereinanderschaltung von möglichst einfachen Abbildungen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K$, $b>1$. Zeige, dass es dann Elemente  $c,d>1$  mit  $b=cd$  gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jedes $k\in {\mathbb{N}}_{+}$ der Dezimalbruch

$\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}$

die rationale Zahl $\frac{1}{3}$ mit einem Fehler von maximal $10^{-k}$ approximiert (von unten).

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Periodizitätseigenschaft bei der Division von natürlichen Zahlen.