Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 1 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 9 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleneunzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Linearkombination} {} zu Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$.

}{Die \stichwort {kanonische Projektion} {} zu einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {vollständig} {} angeordneter Körper $K$.

}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {Kosinusreihe} {} zu
\mathl{x \in \R}{.}

}{Die \stichwort {Bernoulli-Verteilung} {} zu
\mathl{p \in [0,1]}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Eine Summe
\mathdisp {\sum_{i = 1}^n s_i v_i} { }
mit Skalaren
\mathl{s_1 , \ldots , s_n \in K}{} nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren. }{Man nennt die Abbildung \maabbeledisp {q} {M } {M/ \sim } {x} { [x] } {,} die \stichwort {kanonische Projektion} {.} }{Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} }{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$. }{Die Kosinusreihe ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!}} { . }
}{Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $f_p$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{ 0,1 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_p(1) }
{ =} {p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_p(0) }
{ =} {1-p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt Bernoulli-Verteilung. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.}{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Z$.}{Die \stichwort {Bayessche Formel} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und sei \maabb {\varphi} {K^n} {K^n } {} eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix $M$. Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.}{Das Äquivalenzklassenmodell von $\Z$ ist mit der Addition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (a, b) ] + [ (c, d) ] }
{ \defeq} {[ (a+c, b+d) ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der Multiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] \cdot [(c,d)] }
{ \defeq} {[(ac+bd, ad+bc)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dem Nullelement
\mathl{[(0,0)]}{,} dem Einselement
\mathl{[(1,0)]}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] }
{ \geq} {[(c,d)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+d }
{ \geq} { b+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} definierten Ordnung ein angeordneter Ring.}{Es sei $(M, P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $A$ mit positiver Wahrscheinlichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(B_k {{|}} A) }
{ =} { { \frac{ P(B_k) \cdot P(A {{|}} B_k) }{ \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +4 w & = & 4 \\ 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 0 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 2 \\ x & +3 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }

}
{

Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
\mathl{IV-5I}{} hinzunehmen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 0 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 2 \\ -14 x & +3 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & -20 w & = & -17 \, . \end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir \zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III+20I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & +4 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 26 x & +43 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -17 \, . \end{matrix}} { }
Mit
\mathl{13I-II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 y }
{ =} {43 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 43 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 1-2y }
{ =} { - { \frac{ 77 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w }
{ =} {-2x-2y }
{ =} { -2 { \left( - { \frac{ 77 }{ 9 } } \right) } -2 { \frac{ 43 }{ 9 } } }
{ =} { { \frac{ 68 }{ 9 } } }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { 4-3x-4w }
{ =} { 4 + 3 { \frac{ 77 }{ 9 } } - { \frac{ 272 }{ 9 } } }
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 9 } } }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche Folgerung kann man daraus schließen?

}
{

Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {K^m} {K^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{v \in K^m}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v) }
{ = }{- \varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v) + \varphi(-v) }
{ =} { \varphi(v-v) }
{ =} { \varphi(0) }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{.} Daher sind \mathkor {} {\varphi(v)} {und} {\varphi(-v)} {} zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(-v) }
{ =} {- \varphi(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte \definitionsverweis {Relation}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \sim }{ (c,d) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(c,d) }
{ \sim }{ (e,f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad }
{ = }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ cf }
{ = }{ed }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ adf }
{ =} {bcf }
{ =} {bde }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt die Kürzungsregel in $\Z$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{af }
{ =} {eb }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b) }
{ \sim }{ (e,f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

}
{

Seien
\mathl{h_1,h_2 \in H}{.} Dann gibt es
\mathl{g_1,g_2 \in G}{} mit
\mathl{\varphi(g_1)=h_1}{} und
\mathl{\varphi(g_2)=h_2}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h_1h_2 }
{ =} { \varphi(g_1) \varphi(g_2) }
{ =} { \varphi(g_1 g_2) }
{ =} { \varphi(g_2 g_1) }
{ =} { \varphi(g_2) \varphi(g_1) }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {h_2 h_1 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{

Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist. Für $n$ gerade ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1+3 + \cdots + n-1 }{ 2+4 + \cdots + n } } }
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 }{ 2+4 + \cdots + n } } }
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 }{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ n }{ 2 } } } } }
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) } }{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) } + 1 } } }
} {} {}{,} wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für $n$ ungerade ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1+3 + \cdots + n }{ 2+4 + \cdots + n-1 } } }
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 }{ 2+4 + \cdots + n -1 } } }
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 }{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ n+1 }{ 2 } } - { \left( n+1 \right) } } } }
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 }{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ n+1 }{ 2 } } } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) } }{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) } - 1 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{,} wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen \zusatzklammer {gerade bzw. ungerade Glieder} {} {} konvergieren gegen $1$ und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen $1$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ eine Cauchy-Folge ist.

}
{

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_n }{ 10^n } } }
{ \leq} { { \frac{ a_{n+1} }{ 10^{n+1} } } }
{ <} { { \frac{ a_n+1 }{ 10^n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ <} { x_n + { \frac{ 1 }{ 10^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}-x_n }
{ <} { { \frac{ 1 }{ 10^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ > }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_m-x_n }
{ =} { { \left( x_{m+1}-x_m \right) } + { \left( x_m -x_{m-1} \right) } + \cdots + { \left( x_{n+2}-x_{n+1} \right) } + { \left( x_{n+1}-x_n \right) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^m } } + { \frac{ 1 }{ 10^{m-1} } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 10^{n+1} } } + { \frac{ 1 }{ 10^n } } }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 10^{m-n} } } + { \frac{ 1 }{ 10^{m-n-1} } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 10 } } + 1 \right) } { \frac{ 1 }{ 10^n } } }
{ \leq} { 2 \cdot { \frac{ 1 }{ 10^n } } }
} {} {}{,} wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+4+3)}
{

Es sei
\mathl{u \in \R}{} eine \definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ a+bu \mid a,b \in \Z \right\} } }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{(\R,0,+)}{} ist. }{Zeige, dass es kein Element
\mathl{v \in \R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \Z v }
{ =} { { \left\{ cv \mid c \in \Z \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Das Nullelement ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+bu)+ (c+du) }
{ =} { (a+c) + (b+d)u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist $G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - (a+bu) }
{ =} { -a -bu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gehören auch die Negativen dazu. }{Nehmen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \Z v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem
\mathl{v \in \R}{} an. Dann ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} {a_0 +b_0 u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit gewissen
\mathl{a_0,b_0 \in \Z}{} und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u }
{ =} { rv }
{ =} { r( a_0 +b_0 u ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem
\mathbed {r \in \Z} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {.} Daraus folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1-r b_0 \right) } u }
{ =} { r a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Aus der Irrationalität von $u$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-rb_0 }
{ =} {0 }
{ =} {a_0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r }
{ =} {b_0 }
{ =} { \pm 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} {\pm u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \Z u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { c u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem $c\in \Z$ was wegen der Irrationalität von $u$ nicht möglich ist. }{Nehmen wir an, es sei $w>0$ das minimale positive Element aus $G$. Wir behaupten, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \Z w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ =} {a+bv }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} positiv \zusatzklammer {bei $g$ negativ geht man zum Negativen davon über} {} {.} Dann ist nach Voraussetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ \geq} { w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir betrachten
\mathl{g-w,g-2w,g-3w , \ldots}{} bis wir zu einem
\mathl{g-kw}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \leq} { g-kw }
{ <} { w }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} angelangen. Wegen
\mathl{g-kw\in G}{} muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {g-kw }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein, also
\mathl{g \in \Z w}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,342 \overline{019}} { }
gegeben ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0{,}342 \overline{019} }
{ =} { 0{,}342 + 0{,}000 \overline{019} }
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot 0{,} \overline{019} }
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot 19 \cdot 0{,} \overline{001} }
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot 19 \cdot { \frac{ 1 }{ 999 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 19 }{ 999000 } } }
{ =} { { \frac{ 341658 + 19 }{ 999000 } } }
{ =} { { \frac{ 341677 }{ 999000 } } }
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }^3 +3 { \left( \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) } + 2 }
{ =} { -1 + \sqrt{2} +3 \sqrt[3]{ -1 + \sqrt{2} }^2 \cdot \sqrt[3]{ -1 - \sqrt{2} } + 3 \sqrt[3]{ -1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[3]{ -1 - \sqrt{2} }^2 -1 - \sqrt{2} +3 \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } +3 \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } +2 }
{ =} { 3 { \left( \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) }^2 { \left( -1-\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) } { \left( -1-\sqrt{2} \right) }^2 } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) } }
{ =} { 3 { \left( \sqrt[3]{ { \left( 3-2 \sqrt{2} \right) } { \left( -1-\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) } { \left(3+ 2\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) } }
{ =} {3 { \left( \sqrt[3]{ 1- \sqrt{2} } + \sqrt[3]{ 1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {3 { \left( \sqrt[3]{ 1- \sqrt{2} } + \sqrt[3]{ 1 + \sqrt{2} } - \sqrt[3]{1 - \sqrt{2} } - \sqrt[3]{1 + \sqrt{2} } \right) } }
{ =} {0 }
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7} { . }

}
{

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c }
{ =} {4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+2b+4c }
{ =} {-7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} {-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3b-3c }
{ =} {11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c }
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 3 } } - b }
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 3 } } +2 }
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 3 } } }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {-b-c }
{ =} { 2+ { \frac{ 5 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 11 }{ 3 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 11 }{ 3 } } - 2X - { \frac{ 5 }{ 3 } } X^2} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Beweise den Zwischenwertsatz.

}
{

Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \leq }{u }
{ \leq }{f(b) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man \mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,} betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0 }
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) } }
{ \leq }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) } }
{ > }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) } }
{ \leq }{ u }
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.} Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung definierte \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) } }
{ \leq }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left(c \right) } }
{ \leq }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) } }
{ \geq }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c) }
{ \geq }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}  Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c) }
{ = }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.

}
{

Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \left( 0{,}7 \right) }
{ \geq} {1 + 0{,}7 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 0{,}7^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}7^3 }
{ =} { 1{,}7 + 0{,}245 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}343 }
{ >} { 1{,}945 + 0{,}057 }
{ =} { 2{,}002 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ >} { 2 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Andererseits ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \left( 0{,}6 \right) }
{ \leq} {1 + 0{,}6 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 0{,}6^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } } { \left( 0{,}6^3 +0{,}6^4 + \cdots \right) } }
{ =} { 1{,}6 + 0{,}18 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}6^3 { \left(1+ 0{,}6 +0{,}6^2 + \cdots \right) } }
{ =} { 1{,}78 +{ \frac{ 1 }{ 6 } }\cdot 0{,}6^3 \cdot { \frac{ 5 }{ 2 } } }
{ =} { 1{,}78 + { \frac{ 3^3 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5^3 \cdot 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 1{,}78 + { \frac{ 9 }{ 100 } } }
{ =} {1{,}87 }
{ <} { 2 }
{ } {}
} {}{,} wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( 0{,}6 \right) }
{ <} { 2 }
{ <} { \exp \left( 0{,}7 \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{

Für reelles $x$ ist immer $-1 \leq \sin x \leq 1$. Somit ist
\mathdisp {- \frac{1}{n} \leq \frac{ \sin n }{n} \leq \frac{1}{n}} { }
für alle $n \in \N_+$. Da die Folge $\left( \frac{1}{n} \right)_{ n \in \N_+ }$ gegen $0$ konvergiert und dies auch für die negative Folge $\left( -\frac{1}{n} \right)_{ n \in \N_+ }$ gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge $\left( \frac{ \sin n }{n} \right)_{ n \in \N_+ }$ gegen $0$ konvergieren.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {3x-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden.

}
{

Der Einheitskreis ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Darin setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {3x-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+ (3x-2)^2 }
{ =} {10x^2 -12x +4 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 - { \frac{ 6 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 10 } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 5 } } \right) }^2 -4 \cdot { \frac{ 3 }{ 10 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 36 }{ 25 } } - { \frac{ 6 }{ 5 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm { \frac{ 1 }{ 5 } } \sqrt{ 6 } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6 } }{ 10 } } }
} {} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y_{1,2} }
{ =} { 3 \cdot { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6 } }{ 10 } } -2 }
{ =} { { \frac{ -2 \pm 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } }
{ } {}
{ } {}
} {} {}{.} Die Schnittpunkte sind also \mathkor {} {\left( { \frac{ 6 +\sqrt{ 6 } }{ 10 } } , \, { \frac{ -2 + 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } \right)} {und} {\left( { \frac{ 6 - \sqrt{ 6 } }{ 10 } } , \, { \frac{ -2 - 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } \right)} {.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus $49$ Kugeln $43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben $43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?

}
{

Die Wahrscheinlichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \binom { 49 } { 43} } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \binom { 49 } { 6} } } }
{ =} { { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2 \cdot 1 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 983 816 } } }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(E) }
{ =} { P( E \cap ( B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n ) ) }
{ =} {P ( (E \cap B_1) \uplus (E \cap B_2) \uplus \ldots \uplus (E \cap B_n )) }
{ =} { \sum_{i = 1}^n P (E \cap B_i) }
{ =} { \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( E {{|}} B_i ) }
} {} {}{.}

}