Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	2	2	1	5	5	9	3	3	3	6	4	3	3	1	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Linearkombination zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ .
Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ .
Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$ .
Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$ , ${}P\neq 0$ , über einem Körper ${}K$ .
Die Kosinusreihe zu ${}x\in \mathbb {R}$ .
Die Bernoulli-Verteilung zu ${}p\in [0,1]$ .

Lösung

Eine Summe
$\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

mit Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
Man nennt die Abbildung
$q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],$

die kanonische Projektion.
Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert.
Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms
${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$ .
Die Kosinusreihe ist
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$
Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f_{p}$ auf ${}M=\{0,1\}$ mit
${}f_{p}(1)=p\,$

und

${}f_{p}(0)=1-p\,$

heißt Bernoulli-Verteilung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.
Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für ${}\mathbb {Z}$ .
Die Bayessche Formel.

Lösung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix ${}M$ . Dann ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn ${}M$ invertierbar ist.
Das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Z}$ ist mit der Addition
${}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,$

der Multiplikation

${}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,$

dem Nullelement ${}[(0,0)]$ , dem Einselement ${}[(1,0)]$ und der durch

${}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$

falls

${}a+d\geq b+c\,,$
definierten Ordnung ein angeordneter Ring.
Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
${}M=B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}\,$

eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis ${}A$ mit positiver Wahrscheinlichkeit

${}P(B_{k}{|}A)={\frac {P(B_{k})\cdot P(A{|}B_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}z$ , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und ${}IV-5I$ hinzunehmen. Dies führt auf

{\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&-17\,.\end{matrix}}

Nun eliminieren wir die Variable ${}w$ , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}II-I$ und ${}III+20I$ ausrechnen. Dies führt auf

{\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-17\,.\end{matrix}}

Mit ${}13I-II$ ergibt sich

{}9y=43\,

und

{}y={\frac {43}{9}}\,.

Rückwärts gelesen ergibt sich

{}x=1-2y=-{\frac {77}{9}}\,,

{}w=-2x-2y=-2{\left(-{\frac {77}{9}}\right)}-2{\frac {43}{9}}={\frac {68}{9}}\,

und

{}z=4-3x-4w=4+3{\frac {77}{9}}-{\frac {272}{9}}=-{\frac {5}{9}}\,.

Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

{}0=1\,.

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Lösung

Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

\varphi \colon K^{m}\longrightarrow K^{n}

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v\in K^{m}$ . Zeige ${}\varphi (-v)=-\varphi (v)$ .

Lösung

Es ist

{}\varphi (v)+\varphi (-v)=\varphi (v-v)=\varphi (0)=0\,.

Daher sind ${}\varphi (v)$ und ${}\varphi (-v)$ zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt

{}\varphi (-v)=-\varphi (v)\,.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch

(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien ${}(a,b)\sim (c,d)$ und ${}(c,d)\sim (e,f)$ . Dies bedeutet ${}ad=bc$ bzw. ${}cf=ed$ . Somit ist

{}adf=bcf=bde\,.

Wegen ${}d\neq 0$ ergibt die Kürzungsregel in ${}\mathbb {Z}$ die Gleichheit

{}af=eb\,,

also ${}(a,b)\sim (e,f)$ .

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Lösung

Es seien ${}h_{1},h_{2}\in H$ . Dann gibt es ${}g_{1},g_{2}\in G$ mit ${}\varphi (g_{1})=h_{1}$ und ${}\varphi (g_{2})=h_{2}$ . Dann ist

{}h_{1}h_{2}=\varphi (g_{1})\varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{2}g_{1})=\varphi (g_{2})\varphi (g_{1})=h_{2}h_{1}\,.

Aufgabe (5 Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$ . Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist. Für ${}n$ gerade ist

{}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n-1}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n}{2}}\right)}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}+1}},\end{aligned}}

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für ${}n$ ungerade ist

{}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n+1}{2}}-{\left(n+1\right)}}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {n+1}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}-1}},\end{aligned}}

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen (gerade bzw. ungerade Glieder) konvergieren gegen ${}1$ und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen ${}1$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ eine Cauchy-Folge ist.

Lösung

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge

{}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,

ist

{}x_{n+1}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,

bzw.

{}x_{n+1}-x_{n}<{\frac {1}{10^{n}}}\,.

Somit gilt für ${}m>n$ die Abschätzung

{}{\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&={\left(x_{m+1}-x_{m}\right)}+{\left(x_{m}-x_{m-1}\right)}+\cdots +{\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)}+{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}\\&\leq {\frac {1}{10^{m}}}+{\frac {1}{10^{m-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10^{n+1}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&={\left({\frac {1}{10^{m-n}}}+{\frac {1}{10^{m-n-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10}}+1\right)}{\frac {1}{10^{n}}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{10^{n}}},\end{aligned}}

wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.

Aufgabe (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

{}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.

Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.
Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit
${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.
Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Lösung

Das Nullelement ergibt sich für ${}a=b=0$ , wegen
${}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,$

ist ${}G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

${}-(a+bu)=-a-bu\,$

gehören auch die Negativen dazu.
Nehmen wir
${}G=\mathbb {Z} v\,$

mit einem ${}v\in \mathbb {R}$ an. Dann ist einerseits

${}v=a_{0}+b_{0}u\,$

mit gewissen ${}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z}$ und andererseits

${}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,$

mit einem ${}r\in \mathbb {Z}$ , ${}r\neq 0$ . Daraus folgt

${}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,$

Aus der Irrationalität von ${}u$ ergibt sich

${}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,$

also

${}r=b_{0}=\pm 1\,.$

Dann ist

${}v=\pm u\,,$

also

${}G=\mathbb {Z} u\,.$

Dann wäre

${}1=cu\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {Z}$ was wegen der Irrationalität von ${}u$ nicht möglich ist.
Nehmen wir an, es sei ${}w>0$ das minimale positive Element aus ${}G$ . Wir behaupten, dass dann
${}G=\mathbb {Z} w\,$

wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

${}g=a+bv>0\,$

positiv (bei ${}g$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

${}g\geq w\,.$

Wir betrachten ${}g-w,g-2w,g-3w,\ldots$ bis wir zu einem ${}g-kw$ mit

${}0\leq g-kw<w\,$

angelangen. Wegen ${}g-kw\in G$ muss

${}0=g-kw\,$

sein, also ${}g\in \mathbb {Z} w$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

0,342{\overline {019}}

gegeben ist.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}0{,}342{\overline {019}}&=0{,}342+0{,}000{\overline {019}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 0{,}{\overline {019}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 19\cdot 0{,}{\overline {001}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {1}{1000}}\cdot 19\cdot {\frac {1}{999}}\\&={\frac {342}{1000}}+{\frac {19}{999000}}\\&={\frac {341658+19}{999000}}\\&={\frac {341677}{999000}}.\end{aligned}}

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass

{}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,

eine Nullstelle des Polynoms

X^{3}+3X+2

ist.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left({\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}^{3}+3{\left({\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}+2\\&=-1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}^{2}-1-{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+3{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}+2\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}^{2}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{{\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}{\left(3+2{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=0.\,\end{aligned}}

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

f=a+bX+cX^{2}

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

f(-1)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=-7.

Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

{}a-b+c=4\,,

{}a+b+c=0\,,

{}a+2b+4c=-7\,.

${}I-II$ führt auf

{}b=-2\,

und ${}I-III$ führt auf

{}-3b-3c=11\,,

also

{}c=-{\frac {11}{3}}-b=-{\frac {11}{3}}+2=-{\frac {5}{3}}\,

und somit

{}a=-b-c=2+{\frac {5}{3}}={\frac {11}{3}}\,.

Das gesuchte Polynom ist also

{\frac {11}{3}}-2X-{\frac {5}{3}}X^{2}.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$ , betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

f(c_{0}).

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{  und }}\,\,b_{1}:=b_{0}

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{  und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt ***** definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$ , also ${}f{\left(c\right)}\leq u$ . Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$ , also ${}f(c)\geq u$ . Also ist ${}f(c)=u$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2

gemäß ihrer Größe.

Lösung

Es ist einerseits

{}{\begin{aligned}\exp \left(0{,}7\right)&\geq 1+0{,}7+{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}7^{2}+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}7^{3}\\&=1{,}7+0{,}245+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}343\\&>1{,}945+0{,}057\\&=2{,}002\\&>2.\end{aligned}}

Andererseits ist

{}{\begin{aligned}\exp \left(0{,}6\right)&\leq 1+0{,}6+{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}6^{2}+{\frac {1}{6}}{\left(0{,}6^{3}+0{,}6^{4}+\cdots \right)}\\&=1{,}6+0{,}18+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}6^{3}{\left(1+0{,}6+0{,}6^{2}+\cdots \right)}\\&=1{,}78+{\frac {1}{6}}\cdot 0{,}6^{3}\cdot {\frac {5}{2}}\\&=1{,}78+{\frac {3^{3}\cdot 5}{6\cdot 5^{3}\cdot 2}}\\&=1{,}78+{\frac {9}{100}}\\&=1{,}87\\&<2,\end{aligned}}

wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist

{}\exp \left(0{,}6\right)<2<\exp \left(0{,}7\right)\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

{\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.

Lösung

Für reelles ${}x$ ist immer

{}-1\leq \sin x\leq 1\,.

Somit ist

{}-{\frac {1}{n}}\leq {\frac {\sin n}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\,

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Da die Folge ${}{\left({\frac {1}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gegen ${}0$ konvergiert und dies auch für die negative Folge ${}{\left(-{\frac {1}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge ${}{\left({\frac {\sin n}{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gegen ${}0$ konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

{}y=3x-2\,

gegebenen Geraden.

Lösung

Der Einheitskreis ist durch

{}x^{2}+y^{2}=1\,

gegeben. Darin setzen wir

{}y=3x-2\,

ein und erhalten

{}x^{2}+(3x-2)^{2}=10x^{2}-12x+4=1\,.

Also ist

{}x^{2}-{\frac {6}{5}}x+{\frac {3}{10}}=0\,

und damit

{}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}-4\cdot {\frac {3}{10}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {36}{25}}-{\frac {6}{5}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\frac {1}{5}}{\sqrt {6}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}

Somit ist

{}{\begin{aligned}y_{1,2}&=3\cdot {\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}-2\\&={\frac {-2\pm 3{\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}

Die Schnittpunkte sind also ${}\left({\frac {6+{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2+3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$ und ${}\left({\frac {6-{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2-3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$ .

Aufgabe (1 Punkt)

Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus ${}49$ Kugeln ${}43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben ${}43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit ist

{}{\frac {1}{\binom {49}{43}}}={\frac {1}{\binom {49}{6}}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {1}{13983816}}\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}P(E)&=P(E\cap (B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}))\\&=P((E\cap B_{1})\uplus (E\cap B_{2})\uplus \ldots \uplus (E\cap B_{n}))\\&=\sum _{i=1}^{n}P(E\cap B_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(E{|}B_{i}).\end{aligned}}