Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 1 2 2 1 5 5 9 3 3 3 6 4 3 3 1 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Linearkombination zu Vektoren im .
  2. Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Ein vollständig angeordneter Körper .
  4. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  5. Die Kosinusreihe zu .
  6. Die Bernoulli-Verteilung zu .


Lösung

  1. Eine Summe

    mit Skalaren nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.

  2. Man nennt die Abbildung

    die kanonische Projektion.

  3. Ein angeordneter Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
  4. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  5. Die Kosinusreihe ist
  6. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit

    und

    heißt Bernoulli-Verteilung.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.
  2. Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für .
  3. Die Bayessche Formel.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix . Dann ist genau dann bijektiv, wenn invertierbar ist.
  2. Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition

    der Multiplikation

    dem Nullelement , dem Einselement und der durch

    falls

    definierten Ordnung ein angeordneter Ring.
  3. Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und

    eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

Welche Folgerung kann man daraus schließen?


Lösung

Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Es sei . Zeige .


Lösung

Es ist

Daher sind und zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die auf durch

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien und . Dies bedeutet bzw. . Somit ist

Wegen ergibt die Kürzungsregel in die Gleichheit

also .


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Lösung

Seien . Dann gibt es mit und . Dann ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist. Für gerade ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für ungerade ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen (gerade bzw. ungerade Glieder) konvergieren gegen und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge

ist

bzw.

Somit gilt für die Abschätzung

wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.


Aufgabe (9 (2+4+3) Punkte)

Es sei eine irrationale Zahl und sei

  1. Zeige, dass eine Untergruppe von ist.
  2. Zeige, dass es kein Element mit

    gibt.

  3. Zeige, dass es in kein positives minimales Element gibt.


Lösung

  1. Das Nullelement ergibt sich für , wegen

    ist unter der Addition abgeschlossen und wegen

    gehören auch die Negativen dazu.

  2. Nehmen wir

    mit einem an. Dann ist einerseits

    mit gewissen und andererseits

    mit einem , . Daraus folgt

    Aus der Irrationalität von ergibt sich

    also

    Dann ist

    also

    Dann wäre

    mit einem was wegen der Irrationalität von nicht möglich ist.

  3. Nehmen wir an, es sei das minimale positive Element aus . Wir behaupten, dass dann

    wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Sei also

    positiv (bei negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

    Wir betrachten bis wir zu einem mit

    angelangen. Wegen muss

    sein, also .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Lösung

Es ist einerseits

Andererseits ist

wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Lösung

Für reelles ist immer . Somit ist

für alle . Da die Folge gegen konvergiert und dies auch für die negative Folge gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge gegen konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Lösung

Der Einheitskreis ist durch

gegeben. Darin setzen wir

ein und erhalten

Also ist

und damit

Somit ist

Die Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (1 Punkt)

Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus Kugeln Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?


Lösung

Die Wahrscheinlichkeit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.


Lösung

Es ist