Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 8 }

\renewcommand{\asechs}{ 6 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 1 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Einheitsmatrix} {} $E_n$.

}{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}

}{Die \stichwort {Reflexivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {abgeschlossenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Der \stichwort {Leitkoeffizient} {} zu einem Polynom $P \in K[X]$, $P \neq 0$.

}{Der \stichwort {Einheitskreis} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_{ n } }
{ \defeq} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nennt man die Einheitsmatrix. }{Man nennt
\mathdisp {\Gamma_F={ \left\{ (x,F(x)) \mid x \in L \right\} } \subseteq L \times M} { }
den Graphen der Abbildung $F$. }{Die Relation $R$ heißt reflexiv, wenn
\mathl{xRx}{} für alle
\mathl{x \in M}{} gilt. }{Eine Teilmenge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a,b] }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq x \leq b \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt abgeschlossenes Intervall in $K$. }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_n \neq 0}{.} Dann heißt $a_n$ der Leitkoeffizient von $P$. }{Der Einheitskreis ist die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ \defeq} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^n$ \zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}}{Die Intervalle
\mathbed {I_n=[a_n,b_n]} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,} mit den Grenzen
\mathdisp {a_n= { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n \text{ und } b_n = { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^{n+1}} { }
definieren eine Intervallschachtelung.}{\aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{\cos \left( x+2 \pi \right) = \cos x}{} für alle
\mathl{x \in \R}{.} }{Es ist
\mathl{\cos \left( x+ \pi \right) = - \cos x}{} für alle
\mathl{x \in \R}{.} }{Es ist
\mathl{\cos 0=1}{,}
\mathl{\cos \pi/2 =0}{,}
\mathl{\cos \pi=-1}{,}
\mathl{\cos 3\pi/2 =0}{} und $\cos 2 \pi =1$. }}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{

Es sei $x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und $y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y }
{ =} { 2{,}50 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x +2y }
{ =} {2{,}30 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x }
{ =} { -2{,}10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0{,}30 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {0{,}40 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 0{,}3 + 11 \cdot 0{,}4 }
{ =} { 4{,}70 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {7Geraden8Schnittpunkte.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 7Geraden8Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_i) }
{ = }{w_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein soll und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} nach Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2) für jede \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt, und jeder Vektor
\mathl{v \in K^n}{} sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir definieren nun umgekehrt eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {,} indem wir jeden Vektor
\mathl{v \in K^n}{} mit der gegebenen Standardbasis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} {\sum_{i = 1}^n s_i e_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (v) }
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n s_i w_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.}
{} \teilbeweis {Zur Linearität.\leerzeichen{}}{}{}
{Für zwei Vektoren \mathkor {} {u= \sum_{i = 1}^n s_i e_i} {und} {v= \sum_{i = 1}^n t_i e_i} {} gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( u+v \right) } }
{ =} {\varphi { \left( { \left( \sum_{i = 1}^n s_ie_i \right) } + { \left( \sum_{i = 1}^n t_i e_i \right) } \right) } }
{ =} {\varphi { \left( \sum_{i = 1}^n { \left( s_i + t_i \right) } e_i \right) } }
{ =} {\sum_{i = 1}^n (s_i + t_i) \varphi { \left( e_i \right) } }
{ =} {\sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) } + \sum_{i = 1}^n t_i \varphi (e_i) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) } + \varphi { \left( \sum_{i = 1}^nt_i e_i \right) } }
{ =} {\varphi (u) + \varphi (v) }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{}
{}

Sei
\mathl{v= \sum_{i = 1}^n t_i e_i}{} und
\mathl{s \in K}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( s v \right) } }
{ =} {\varphi { \left( s { \left( \sum_{i = 1}^n t_i e_i \right) } \right) } }
{ =} {\varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s \cdot t_i e_i \right) } }
{ =} {\sum_{i = 1}^n s \cdot t_i \varphi { \left( e_i \right) } }
{ =} { s \cdot { \left( \sum_{i = 1}^n t_i \varphi { \left( e_i \right) } \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {s \cdot \varphi (v) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bedeutet ausgeschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xa+yc }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xb +yd }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ za +wc }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ zb+wd }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,c) }
{ \neq }{(0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(b,d) }
{ \neq }{(0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Aus der zweiten Gleichung folgt nach Korollar 34.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)), dass es ein
\mathl{s \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {sd }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {-sb }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der ersten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { sda-sbc }
{ =} { s(da-bc) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s }
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { { \frac{ d }{ da-bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { - { \frac{ b }{ da-bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein
\mathl{t \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} {tc }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} {-ta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der vierten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { tcb - tad }
{ =} { -t (da-bc) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ da-bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { - { \frac{ c }{ da-bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w }
{ =} { { \frac{ a }{ da-bc } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M \circ A }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ d }{ da-bc } } & - { \frac{ b }{ da-bc } } \\ - { \frac{ c }{ da-bc } } & { \frac{ a }{ da-bc } } \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-cd & -cb +da \end{pmatrix} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -cb +da \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei
\mathl{x \sim y}{.} Im Fall
\mathl{x=y}{} ist natürlich auch
\mathl{y=x}{} und somit
\mathl{y \sim x}{.} Im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {y^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich durch Invertieren der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{-1} }
{ =} { { \left( y^{-1} \right) }^{-1} }
{ =} { y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ebenfalls
\mathl{y \sim x}{.} Zum Nachweis der Transitivität sei
\mathl{x \sim y}{} und
\mathl{y \sim z}{.} Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei
\mathl{x=y}{} und
\mathl{y=z}{} ist natürlich
\mathl{x=z}{.} Bei
\mathl{x=y}{} und
\mathl{y=z^{-1}}{} ist
\mathl{x=z^{-1}}{,} also
\mathl{x \sim z}{.} Bei
\mathl{x=y^{-1}}{} und
\mathl{y=z}{} ist
\mathl{x=y^{-1}=z^{-1}}{,} also wieder
\mathl{x \sim z}{.} Bei
\mathl{x=y^{-1}}{} und
\mathl{y=z^{-1}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {y^{-1} }
{ =} { { \left( z^{-1} \right) } ^{-1} }
{ =} {z }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mathl{x \sim z}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{25}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}

}
{

Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{89 }
{ =} { 3 \cdot 25 + 14 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 }
{ =} { 1 \cdot 14 +11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{14 }
{ =} { 1 \cdot 11 +3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{11 }
{ =} { 3 \cdot 3 +2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 }
{ =} { 1 \cdot 2 +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1 }
{ =} { 3 -1 \cdot 2 }
{ =} { 3 -1 \cdot ( 11- 3 \cdot 3 ) }
{ =} { 4 \cdot 3 -1 \cdot 11 }
{ =} { 4 \cdot ( 14-1 \cdot 11) -1 \cdot 11 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 4 \cdot 14 - 5 \cdot 11 }
{ =} { 4 \cdot 14 - 5 \cdot (25-1 \cdot 14) }
{ =} { 9 \cdot 14 - 5 \cdot 25 }
{ =} { 9 \cdot ( 89-3 \cdot 25 ) - 5 \cdot 25 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {9 \cdot 89 -32 \cdot 25 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-32 }
{ =} { 57 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das inverse Element zu $25$ in
\mathl{\Z/(89)}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7} }
{ =} { 5^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot 7^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }
{ =} { { \left( 5^3 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } \cdot { \left( 7^2 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } }
{ =} { 125^{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 49^{ \frac{ 1 }{ 6 } } }
{ =} { 6125^{ \frac{ 1 }{ 6 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sqrt[6]{6125} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} {- x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Folge konstant gleich $0$. Diese Folge konvergiert gegen $0$. Für jeden anderen Startwert
\mathl{x_0 \neq 0}{} konvergiert die Folge nicht. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \left( -x \right) } }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wechseln sich in der Folge $x_0$ und $- x_0$ ab, so dass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{

Für $n \geq 1$ kann man die Folge \zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^3$} {} {} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { \frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ =} { \frac{ 3 - \frac{1}{n} - \frac{7}{n^3} }{ 2+ \frac{1}{n^2}+ \frac{8}{n^3} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben. Folgen vom Typ \mathkor {} {a/n, \, a/n^2} {und} {a/n^3} {} sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $3$ und der Nenner gegen $2$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen $3/2 \in \Q$ konvergiert.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.

}
{

Sei
\mathl{\epsilon >0}{} vorgegeben. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon' }
{ \defeq }{ \epsilon^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es wegen der Nullkonvergenz von
\mathl{x_n^2-y_n^2}{} ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n^2-y_n^2 } }
{ \leq} { \epsilon^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{n \geq n_0}{} ist. Für diese $n$ zeigen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch eine Fallunterscheidung. Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n,y_n }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, so ist wegen der Positivität direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei also umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_n }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist jedenfalls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n +y_n }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x_n+y_n } } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ \epsilon } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_n-y_n } }
{ =} { { \frac{ \betrag { x_n^2-y_n^2 } }{ x_n+y_n } } }
{ =} { \betrag { x_n^2-y_n^2 } \cdot { \frac{ 1 }{ x_n+y_n } } }
{ \leq} { \epsilon^2 \cdot { \frac{ 1 }{ \epsilon } } }
{ =} { \epsilon }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Sei
\mathl{m \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0, \overline{0 \ldots 0 1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die reelle Zahl mit Periodenlänge $m$ \zusatzklammer {die Periode besteht aus
\mathl{m-1}{} Nullen und einer $1$} {} {.} Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{z_i \in \{0,1,2 , \ldots , 9\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ =} { 0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_1 z_0} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_k }
{ =} { 10^{- m}+ 10^{-2 m} + \cdots + 10^{-k m}+ }
{ =} { \sum_{j = 1}^k 10^{-j m} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y x_k }
{ =} { { \left( \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } { \left( \sum_{j = 1}^k 10^{-j m} \right) } }
{ =} { \sum_{j = 1}^k { \left( \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } 10^{-j m} }
{ =} { \sum_{j = 1}^k { \left( \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{-jm+i} \right) } }
{ =} { z_{m-1} 10^{-1} + z_{m-2} 10^{-2} + \cdots + z_0 10^{-m} + z_{m-1} 10^{-m-1} + z_{m-2} 10^{-m-2} + \cdots + z_0 10^{-2m} + \cdots + z_{m-1} 10^{-(k-1) m -1} + z_{m-2} 10^{-(k-1)m -2} + \cdots + z_0 10^{-km} }
} {} {}{} Die Folge
\mathl{yx_k}{} konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen $yx$, wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl
\mathdisp {0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_0 }} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.

}
{Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.

}
{

Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(X-a)Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ =} {(a-a)Q(a) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} {(X-a)Q +R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder aber den Grad $0$ besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ =} {R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(X-a)Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3+4X^2-7X+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {X^3-2X^2+5X+3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q }
{ =} {X^3+4X^2-7X+1- { \left( X^3-2X^2+5X+3 \right) } }
{ =} { 6X^2-12X-2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2- 2X- { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Lösungen dafür sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4+ { \frac{ 4 }{ 3 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 16 }{ 3 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 \pm 4 \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }{ 2 } } }
{ =} { 1 \pm 2\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }
} {} {}{.} Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi} { . }

}
{

In
\mathl{{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi}{} ist der Gesamtausdruck die Potenz,
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{} ist die Basis und $\pi$ ist der Exponent.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.

}
{

Der Abstand der beiden Punkte ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r }
{ =} { \sqrt{ 1^2 +6^2} }
{ =} { \sqrt{37} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Kreisgleichung ist somit
\mathdisp {(X+5)^2 + (Y-5)^2= 37} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem $24$-fachen Münzwurf stets Kopf fällt?

}
{

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto ist der Kehrwert von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 49 } { 6} }
{ =} { { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1 } } }
{ =} { 13 983 816 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Wahrscheinlichkeit, $24$-mal hintereinander Kopf zu werfen, ist der Kehrwert von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^{24} }
{ =} { 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{4} }
{ >} { 1000 \cdot 1000 \cdot 16 }
{ =} {16 000 000 }
{ >} { 13 983 816 }
} {}{}{.} Die Wahrscheinlichkeit für den Lottogewinn ist also größer.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Beweise die Bayessche Formel.

}
{

Nach Lemma 58.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) angewendet auf $A$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(B_k {{|}} A) }
{ =} { { \frac{ P(B_k \cap A) }{ P(A) } } }
{ =} { { \frac{ P(B_k \cap A) }{ \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) } } }
{ =} { { \frac{ P(B_k) \cdot P(A {{|}} B_k) }{ \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) } } }
{ } { }
} {} {}{.}

}