Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 8 | 6 | 4 | 3 | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 4 | 4 | 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Einheitsmatrix .
- Der Graph zu einer Abbildung .
- Die Reflexivität einer Relation auf einer Menge .
- Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper .
- Der Leitkoeffizient zu einem Polynom , .
- Der Einheitskreis.
- Die
-
Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
- Man nennt
den Graphen der Abbildung .
- Die Relation heißt reflexiv, wenn für alle gilt.
- Eine Teilmenge der Form
heißt abgeschlossenes Intervall in .
- Es sei
mit . Dann heißt der Leitkoeffizient von .
- Der Einheitskreis ist die Menge
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
- Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
- Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.
- Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
über einem Körper ist ein Untervektorraum des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation). - Die Intervalle
, ,
mit den Grenzen
- Es ist für alle .
- Es ist für alle .
- Es ist , , , und .
Aufgabe (2 Punkte)
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?
Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
und
Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
und damit
Daraus ergibt sich
und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
Aufgabe (2 Punkte)
Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.
Aufgabe (8 Punkte)
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen
Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft
erfüllt, und jeder Vektor
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine
Abbildung
indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als
schreiben und
ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche
Linearkombination
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren
und
gilt
Es sei und . Dann ist
Aufgabe (6 Punkte)
Die Bedingung
bedeutet ausgeschrieben
Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind und . Aus der zweiten Gleichung folgt nach Korollar 34.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)), dass es ein gibt mit
und
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
und somit
und
und
Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein gibt mit
und
Aus der vierten Gleichung ergibt sich
und somit
und
und
Somit ist
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch
erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei . Im Fall ist natürlich auch und somit . Im Fall
ergibt sich durch Invertieren der Gleichung
also ebenfalls . Zum Nachweis der Transitivität sei und . Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei und ist natürlich . Bei und ist , also . Bei und ist , also wieder . Bei und ist
also .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das inverse Element zu in .
Der euklidische Algorithmus liefert
Somit ist
Daher ist
das inverse Element zu in .
Aufgabe (1 Punkt)
Drücke
mit einer einzigen Wurzel aus.
Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
Bei ist die Folge konstant gleich . Diese Folge konvergiert gegen . Für jeden anderen Startwert konvergiert die Folge nicht. Wegen
wechseln sich in der Folge und ab, sodass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.
Aufgabe (3 Punkte)
Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als
schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.
Es sei vorgegeben. Zu gibt es wegen der Nullkonvergenz von ein derart, dass
für alle ist. Für diese zeigen wir
durch eine Fallunterscheidung. Wenn
ist, so ist wegen der Positivität direkt . Es sei also umgekehrt oder . Dann ist jedenfalls und somit . Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei und sei
die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer ). Sei
mit . Zeige
Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge
Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes
Die Folge konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen , wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl
Aufgabe (4 Punkte)
Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.
Lösung Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man
mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt
Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
wobei oder aber den Grad besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
und
Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen vor, die eine Nullstelle von sind. Es ist
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
Die Lösungen dafür sind
Dies sind die -Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
In ist der Gesamtausdruck die Potenz, ist die Basis und ist der Exponent.
Aufgabe (1 Punkt)
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Der Abstand der beiden Punkte ist
Die Kreisgleichung ist somit
Aufgabe (2 Punkte)
Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem -fachen Münzwurf stets Kopf fällt?
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto ist der Kehrwert von
Die Wahrscheinlichkeit, -mal hintereinander Kopf zu werfen, ist der Kehrwert von
Die Wahrscheinlichkeit für den Lottogewinn ist also größer.
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise die Bayessche Formel.
Nach Lemma 58.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) angewendet auf ist