Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	8	6	4	3	1	3	3	5	4	4	4	3	1	1	2	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Einheitsmatrix ${}E_{n}$.
2. Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
3. Die Reflexivität einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Der Leitkoeffizient zu einem Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$.
6. Der Einheitskreis.

Lösung

1. Die ${}n\times n$- Matrix

   ${}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

   nennt man die Einheitsmatrix.

2. Man nennt

   $\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$

   den Graphen der Abbildung ${}F$.

3. Die Relation ${}R$ heißt reflexiv, wenn ${}xRx$ für alle ${}x\in M$ gilt.
4. Eine Teilmenge der Form

   ${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x\leq b\right\}}\,$

   heißt abgeschlossenes Intervall in ${}K$.

5. Es sei

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$. Dann heißt ${}a_{n}$ der Leitkoeffizient von ${}P$.

6. Der Einheitskreis ist die Menge

   ${}E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
3. Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.

Lösung

1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

   über einem Körper ${}K$ ist ein Untervektorraum des ${}K^{n}$

   (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
2. Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, ${}n\geq 1$, mit den Grenzen

   $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

   definieren eine Intervallschachtelung.
3. 1. Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   2. Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   3. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$, ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Lösung

Es sei ${}x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und ${}y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

${}3x+4y=2{,}50\,$

und

${}5x+2y=2{,}30\,.$

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

${}-7x=-2{,}10\,$

und damit

${}x=0{,}30\,.$

Daraus ergibt sich

${}y=0{,}40\,$

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich

${}1\cdot 0{,}3+11\cdot 0{,}4=4{,}70\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Lösung

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Lösung

Da ${}\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$

indem wir jeden Vektor ${}v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als

${}v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$

schreiben und

${}\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Es sei ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ und ${}s\in K$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(sv\right)}&=\varphi {\left(s{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=s\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\right)}\\&=s\cdot \varphi (v).\end{aligned}}$

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

${}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass dann auch

${}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Lösung

Die Bedingung

${}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}xa+yc=1\,,$

${}xb+yd=0\,,$

${}za+wc=0\,,$

${}zb+wd=1\,.$

Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind ${}(a,c)\neq (0,0)$ und ${}(b,d)\neq (0,0)$. Aus der zweiten Gleichung folgt nach Korollar 34.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)), dass es ein ${}s\in K$ gibt mit

${}x=sd\,$

und

${}y=-sb\,.$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich

${}1=sda-sbc=s(da-bc)\,$

und somit

${}s={\frac {1}{da-bc}}\,$

und

${}x={\frac {d}{da-bc}}\,$

und

${}y=-{\frac {b}{da-bc}}\,.$

Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein ${}t\in K$ gibt mit

${}z=tc\,$

und

${}w=-ta\,.$

Aus der vierten Gleichung ergibt sich

${}1=tcb-tad=-t(da-bc)\,$

und somit

${}t=-{\frac {1}{da-bc}}\,$

und

${}z=-{\frac {c}{da-bc}}\,$

und

${}w={\frac {a}{da-bc}}\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}M\circ A&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {d}{da-bc}}&-{\frac {b}{da-bc}}\\-{\frac {c}{da-bc}}&{\frac {a}{da-bc}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\cd-cd&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf ${}G$, die durch

$x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}$

erklärt ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei ${}x\sim y$. Im Fall ${}x=y$ ist natürlich auch ${}y=x$ und somit ${}y\sim x$. Im Fall

${}x=y^{-1}\,$

ergibt sich durch Invertieren der Gleichung

${}x^{-1}={\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y\,,$

also ebenfalls ${}y\sim x$. Zum Nachweis der Transitivität sei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$. Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei ${}x=y$ und ${}y=z$ ist natürlich ${}x=z$. Bei ${}x=y$ und ${}y=z^{-1}$ ist ${}x=z^{-1}$, also ${}x\sim z$. Bei ${}x=y^{-1}$ und ${}y=z$ ist ${}x=y^{-1}=z^{-1}$, also wieder ${}x\sim z$. Bei ${}x=y^{-1}$ und ${}y=z^{-1}$ ist

${}x=y^{-1}={\left(z^{-1}\right)}^{-1}=z\,,$

also ${}x\sim z$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {25}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}89=3\cdot 25+14\,,$

${}25=1\cdot 14+11\,,$

${}14=1\cdot 11+3\,,$

${}11=3\cdot 3+2\,,$

${}3=1\cdot 2+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=3-1\cdot 2\\&=3-1\cdot (11-3\cdot 3)\\&=4\cdot 3-1\cdot 11\\&=4\cdot (14-1\cdot 11)-1\cdot 11\\&=4\cdot 14-5\cdot 11\\&=4\cdot 14-5\cdot (25-1\cdot 14)\\&=9\cdot 14-5\cdot 25\\&=9\cdot (89-3\cdot 25)-5\cdot 25\\&=9\cdot 89-32\cdot 25.\end{aligned}}$

Daher ist

${}-32=57\,$

das inverse Element zu ${}25$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$.

Aufgabe (1 Punkt)

Drücke

${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}&=5^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\\&={\left(5^{3}\right)}^{\frac {1}{6}}\cdot {\left(7^{2}\right)}^{\frac {1}{6}}\\&=125^{\frac {1}{6}}\cdot 49^{\frac {1}{6}}\\&=6125^{\frac {1}{6}}\\&={\sqrt[{6}]{6125}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Lösung

Bei ${}x_{0}=0$ ist die Folge konstant gleich ${}0$. Diese Folge konvergiert gegen ${}0$. Für jeden anderen Startwert ${}x_{0}\neq 0$ konvergiert die Folge nicht. Wegen

${}-{\left(-x\right)}=x\,$

wechseln sich in der Folge ${}x_{0}$ und ${}-x_{0}$ ab, so dass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{3}$) als

${}x_{n}:={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}={\frac {3-{\frac {1}{n}}-{\frac {7}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {8}{n^{3}}}}}\,$

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2}$ und ${}a/n^{3}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${}3$ und der Nenner gegen ${}2$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${}3/2\in \mathbb {Q}$ konvergiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Lösung

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon ':=\epsilon ^{2}$ gibt es wegen der Nullkonvergenz von ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass

${}\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert \leq \epsilon ^{2}\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ ist. Für diese ${}n$ zeigen wir

${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

durch eine Fallunterscheidung. Wenn

${}x_{n},y_{n}\leq \epsilon \,$

ist, so ist wegen der Positivität direkt ${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq \epsilon$. Es sei also umgekehrt ${}x_{n}\geq \epsilon$ oder ${}y_{n}\geq \epsilon$. Dann ist jedenfalls ${}x_{n}+y_{n}\geq \epsilon$ und somit ${}{\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\leq {\frac {1}{\epsilon }}$. Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert &={\frac {\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert }{x_{n}+y_{n}}}\\&=\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert \cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\\&\leq \epsilon ^{2}\cdot {\frac {1}{\epsilon }}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

${}x=0,{\overline {0\ldots 01}}\,$

die reelle Zahl mit Periodenlänge ${}m$ (die Periode besteht aus ${}m-1$ Nullen und einer ${}1$). Sei

${}y=\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\,$

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$. Zeige

${}xy=0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{1}z_{0}}}\,.$

Lösung

Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge

${}x_{k}=10^{-m}+10^{-2m}+\cdots +10^{-km}+=\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\,.$

Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes

${}{\begin{aligned}yx_{k}&={\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{k}10^{-jm}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}10^{-jm}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{-jm+i}\right)}\\&=z_{m-1}10^{-1}+z_{m-2}10^{-2}+\cdots +z_{0}10^{-m}+z_{m-1}10^{-m-1}+z_{m-2}10^{-m-2}+\cdots +z_{0}10^{-2m}+\cdots +z_{m-1}10^{-(k-1)m-1}+z_{m-2}10^{-(k-1)m-2}+\cdots +z_{0}10^{-km}\end{aligned}}$

Die Folge ${}yx_{k}$ konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen ${}yx$, wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl

$0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{0}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.

Lösung Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Lösung

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,$

und

${}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.$

Lösung

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen ${}x$ vor, die eine Nullstelle von ${}P-Q$ sind. Es ist

${}P-Q=X^{3}+4X^{2}-7X+1-{\left(X^{3}-2X^{2}+5X+3\right)}=6X^{2}-12X-2\,.$

Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung

${}X^{2}-2X-{\frac {1}{3}}=0\,.$

Die Lösungen dafür sind

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {2\pm {\sqrt {4+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {16}{3}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm 4{\sqrt {\frac {1}{3}}}}{2}}\\&=1\pm 2{\sqrt {\frac {1}{3}}}.\end{aligned}}$

Dies sind die ${}x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck

${\left({\frac {3}{2}}\right)}^{\pi }.$

Lösung

In ${}{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{\pi }$ ist der Gesamtausdruck die Potenz, ${}{\frac {3}{2}}$ ist die Basis und ${}\pi$ ist der Exponent.

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

${}r={\sqrt {1^{2}+6^{2}}}={\sqrt {37}}\,.$

Die Kreisgleichung ist somit

$(X+5)^{2}+(Y-5)^{2}=37.$

Aufgabe (2 Punkte)

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem ${}24$-fachen Münzwurf stets Kopf fällt?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto ist der Kehrwert von

${}{\binom {49}{6}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13983816\,.$

Die Wahrscheinlichkeit, ${}24$-mal hintereinander Kopf zu werfen, ist der Kehrwert von

${}2^{24}=2^{10}\cdot 2^{10}\cdot 2^{4}>1000\cdot 1000\cdot 16=16000000>13983816\,.$

Die Wahrscheinlichkeit für den Lottogewinn ist also größer.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Bayessche Formel.

Lösung

Nach Lemma 58.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) angewendet auf ${}A$ ist

${}{\begin{aligned}P(B_{k}{|}A)&={\frac {P(B_{k}\cap A)}{P(A)}}\\&={\frac {P(B_{k}\cap A)}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}\\&={\frac {P(B_{k})\cdot P(A{|}B_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}.\end{aligned}}$