Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 8 6 4 3 1 3 3 5 4 4 4 3 1 1 2 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Einheitsmatrix .
  2. Der Graph zu einer Abbildung .
  3. Die Reflexivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper .
  5. Der Leitkoeffizient zu einem Polynom , .
  6. Der Einheitskreis.


Lösung

  1. Die -Matrix

    nennt man die Einheitsmatrix.

  2. Man nennt

    den Graphen der Abbildung .

  3. Die Relation heißt reflexiv, wenn für alle gilt.
  4. Eine Teilmenge der Form

    heißt abgeschlossenes Intervall in .

  5. Es sei

    mit . Dann heißt der Leitkoeffizient von .

  6. Der Einheitskreis ist die Menge


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
  3. Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.


Lösung

  1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

    über einem Körper ist ein Untervektorraum des

    (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
  2. Die Intervalle , , mit den Grenzen
    definieren eine Intervallschachtelung.
    1. Es ist für alle .
    2. Es ist für alle .
    3. Es ist , , , und .


Aufgabe (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Lösung

Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

und

Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

und damit

Daraus ergibt sich

und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.


Lösung

7Geraden8Schnittpunkte.png


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen


Lösung

Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt



Sei und . Dann ist


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige, dass dann auch

gilt.


Lösung

Die Bedingung

bedeutet ausgeschrieben

Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind und . Aus der zweiten Gleichung folgt nach Korollar 34.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)), dass es ein gibt mit

und

Aus der ersten Gleichung ergibt sich

und somit

und

und

Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein gibt mit

und

Aus der vierten Gleichung ergibt sich

und somit

und

und

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch

erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei . Im Fall ist natürlich auch und somit . Im Fall

ergibt sich durch Invertieren der Gleichung

also ebenfalls . Zum Nachweis der Transitivität sei und . Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei und ist natürlich . Bei und ist , also . Bei und ist , also wieder . Bei und ist

also .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

Somit ist

Daher ist

das inverse Element zu in .


Aufgabe (1 Punkt)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Lösung

Bei ist die Folge konstant gleich . Diese Folge konvergiert gegen . Für jeden anderen Startwert konvergiert die Folge nicht. Wegen

wechseln sich in der Folge und ab, so dass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Zu gibt es wegen der Nullkonvergenz von ein derart, dass

für alle ist. Für diese zeigen wir

durch eine Fallunterscheidung. Wenn

ist, so ist wegen der Positivität direkt . Sei also umgekehrt oder . Dann ist jedenfalls und somit . Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel


Aufgabe (4 Punkte)

Sei und sei

die reelle Zahl mit Periodenlänge (die Periode besteht aus Nullen und einer ). Sei

mit . Zeige


Lösung

Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge

Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes

Die Folge konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen , wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl


Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.


Lösung Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Lösung

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen vor, die eine Nullstelle von sind. Es ist

Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung

Die Lösungen dafür sind

Dies sind die -Koordinaten der beiden Schnittpunkte.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck


Lösung

In ist der Gesamtausdruck die Potenz, ist die Basis und ist der Exponent.


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

Die Kreisgleichung ist somit


Aufgabe (2 Punkte)

Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem -fachen Münzwurf stets Kopf fällt?


Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto ist der Kehrwert von

Die Wahrscheinlichkeit, -mal hintereinander Kopf zu werfen, ist der Kehrwert von

Die Wahrscheinlichkeit für den Lottogewinn ist also größer.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Bayessche Formel.


Lösung

Nach Lemma 58.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) angewendet auf ist