Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 10 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 10 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Basis} {} im $K^m$.
}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.
}{Der \stichwort {Polynomring} {} über einem Körper $K$ \zusatzklammer {einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen} {} {.}
}{Das \stichwort {Cauchy-Folgen-Modell} {} für die reellen Zahlen.
}{Ein \stichwort {Laplace-Raum} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$ heißen eine
Basis
des $K^m$, wenn man jeden Vektor
\mathl{w \in K^m}{} eindeutig als eine
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
mit den Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} schreiben kann.
}{Die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i \in I$.
}{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
}{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
}
}{Eine Folge in $M$ ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\N} {M
} {n} {x_n
} {.}
}{Der Polynomring über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ besteht aus allen Polynomen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_i \in K}{,}
\mathl{n \in \N}{,} und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m
}
{ \defeq} { X^{n+m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
}{Der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{C/N}{} des Ringes $C$ der rationalen
\definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{}
modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt
Cauchy-Folgen-Modell
der reellen Zahlen.
}{Ein Laplace-Raum ist eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
$M$ zusammen mit derjenigen
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\maabbdisp {\lambda} {M} { \R_{\geq 0}
} {,}
die jedem Element
\mathl{x \in M}{} den konstanten Wert
\mathl{{ \frac{ 1 }{ { \# \left( M \right) } } }}{} zuweist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Restklassenkörper von $\Z$.}{Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{n \in \N}{.} Der Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.}{Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper
\mathkor {} {\R_1} {und} {\R_2} {}
vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {\R_1} { \R_2
} {.}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{10}
{
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
}
{Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & -2 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 7 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 3 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
\mathl{IV-5I}{} hinzunehmen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 7 \\
4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 3 \\
-14 x &
+3 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-20 w & = & 9 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III+20I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+4 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -4 \\
26 x &
+43 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 149 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{13I-II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 y
}
{ =} {-201
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { -{ \frac{ 67 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { -2-2y
}
{ =} { { \frac{ 128 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} {7-2x-2y
}
{ =} { -{ \frac{ 101 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { -2-3x-4w
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 3.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 3.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 9 }{ 4 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 50 }{ 3 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 2 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die inverse Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 4 }{ 9 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 3 }{ 50 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 3 }{ 5 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{-7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 11 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme, ob die durch die Relationstabelle %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\,$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $A$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $B$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $C$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $D$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $A$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $B$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $C$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $D$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ \, }
\renewcommand{\azweixzwei}{ \times }
\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }
\renewcommand{\azweixvier}{ \times }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ \, }
\renewcommand{\adreixzwei}{ \, }
\renewcommand{\adreixdrei}{ \times }
\renewcommand{\adreixvier}{ \, }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ \, }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \times }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }
\renewcommand{\avierxvier}{ \times }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
beschriebene
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$R$ auf der Menge
\mathl{\{A,B,C,D\}}{}
\definitionsverweis {reflexiv}{}{,}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{,}
\definitionsverweis {transitiv}{}{,}
\definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{}
ist.
}
{
Die Relation ist nicht reflexiv, da $A$ nicht zu sich selbst in Beziehung steht. Die Relation ist symmetrisch, da die einzigen Relationsbeziehungen zwischen verschiedenen Elementen die Relation zwischen
\mathkor {} {B} {und} {D} {}
ist, und diese in beide Richtungen gegeben ist. Daher ist die Relation auch nicht antisymmetrisch. Die Relation ist transitiv. Der einzige zu überprüfende nichttriviale Voraussetzung ist
\mathl{BRD}{} und
\mathl{DRB}{,} wobei die Konklusion wegen
\mathkor {} {BRB} {und} {DRD} {}
gilt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\maabb {p} {\Z} { \Z/(2)
} {}
und
\maabb {q} {\Z} { \Z/(5)
} {}
die kanonischen Abbildungen in die
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mathkor {} {\Z/(2)} {bzw.} {\Z/(5)} {.}
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\Z } { \Z/(2) \times \Z/(5)
} {x} { (p(x),q(x))
} {.}
\aufzaehlungdrei{Berechne
\mathl{\varphi(113)}{.}
}{Finde ein Urbild von
\mathl{(\overline{1}, \overline{0})}{} und eines von
\mathl{(\overline{0}, \overline{1})}{.}
}{Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(113)
}
{ =} { (\overline{1},\overline{3})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(5)
}
{ =} { (\overline{1},\overline{0})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(6)
}
{ =} { (\overline{0},\overline{1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Bilder von
\mathl{0,1,2 , \ldots , 9}{} sind der Reihe nach
\mathdisp {(\overline{0},\overline{0}) , \, (\overline{1},\overline{1}) , \, (\overline{0},\overline{2}) , \, (\overline{1},\overline{3}) , \, (\overline{0},\overline{4}) , \, (\overline{1},\overline{0}) , \, (\overline{0},\overline{1}) , \, (\overline{1},\overline{2}) , \, (\overline{0},\overline{3}) , \, (\overline{1},\overline{4})} { , }
damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2
}
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2
}
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 +2 \sqrt{30}
}
{ >} { 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n -a
}
{ \leq} { y_n-a
}
{ \leq} { z_n-a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{y_n-a \geq 0}{} ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \betrag { z_n-a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mathl{y_n-a \leq 0}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { {\max { \left( \betrag { x_n-a } , \betrag { z_n-a } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein vorgegebenes
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen
\mathbed {n_1} {und}
{n_2} {}
{} {} {} {}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq n_1}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq n_2}{} gilt. Für
\mathl{n \geq n_0 = {\max { \left( n_1 , n_2 \right) } }}{} gilt daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet die Konvergenz von $y_n$ gegen $a$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
$K$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist?
}
{
Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n} -x_{n-1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach
Beispiel 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{10 (1+1+5+2+1)}
{
Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0,1$ oder $2$ besitzt
\zusatzklammer {Periodenlänge $0$ bedeutet
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{Gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 11 } }}{} zu $M$?
}{Gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 37 } }}{} zu $M$?
}{Wie sieht man einem gekürzten Bruch
\mathl{a/b}{} an, ob er zu $M$ gehört oder nicht?
}{Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $\R$?
}{Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $\R$?
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 11 } }
}
{ =} { 0, \overline{09}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Periodenlänge ist also $2$ und somit gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 11 } }}{} zu $M$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 37 } }
}
{ =} { 0, \overline{027}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Periodenlänge ist also $3$ und somit gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 37 } }}{} nicht zu $M$.
}{Ein gekürzter Bruch
\mathl{a/b}{} gehört genau dann zu $M$, wenn $b$ die Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {2^i 5^j 3^k 11^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $x$ die Periodenlänge $0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und $x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn $x$ die Periodenlänge $2$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge $1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x
}
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} \overline{wz}
}
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + 0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n \text{ Nullen} } \overline{wz}
}
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + wz \cdot 0,0 \ldots 0 \overline{01}
}
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + wz \cdot 10^n \cdot 0, \overline{01}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + wz \cdot 10^n \cdot { \frac{ 1 }{ 99 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{99
}
{ = }{9 \cdot 11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nenner geschrieben werden. Das Element $x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.
Es sei umgekehrt ein Bruch der Form
\mathdisp {{ \frac{ a }{ 10^{i} } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3^k \cdot 11^{\ell} } }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \leq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei in $a$ die Primfaktoren
\mathkor {} {3} {und} {11} {}
nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 9 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 11 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 33 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 99 } }} { }
besitzen die Periodenlänge
\mathkor {} {1} {oder} {2} {.}
}{Die Null
\zusatzklammer {Periodenlänge null} {} {}
gehört zu $M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus $M$ kann man nach Teil (3) als
\zusatzklammer {nicht unbedingt gekürzt} {} {}
\mathkor {} {x = { \frac{ c }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } }} {und} {y = { \frac{ d }{ 10^j \cdot 11 \cdot 9 } }} {}
schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y
}
{ =} {{ \frac{ c }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } } + { \frac{ d }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } }
}
{ =} {{ \frac{ c+d }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies gehört wieder zu $M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von $\R$.
}{Es liegt kein Unterring vor, da
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 9 } }} {}
beide zu $M$ gehören, ihr Produkt, also
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 27 } }}{,} ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 27 } }
}
{ =} { 0, \overline{037}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und besitzt die Periodenlänge $3$, gehört also nicht zu $M$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n
}
{ =} {[a_n,b_n]
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
vorliegt.
}
{
Für $n$ gerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a_n,b_n]
}
{ =} { [0, { \frac{ 1 }{ n } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für $n$ ungerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a_n,b_n]
}
{ =} { [- { \frac{ 1 }{ n } }, 0 ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Intervalllänge ist stets ${ \frac{ 1 }{ n } }$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{n \in \N_+} [a_n,b_n]
}
{ =} { \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3 x^2+ x+4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/(7)$.
}
{
Die normierte Gleichung ist
\zusatzklammer {Multiplikation mit $5$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+5x+6
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die p-q-Formel ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ -5 \pm \sqrt{ 25- 4\cdot 6} }{ 2 } }
}
{ =} { 4 { \left( 2 \pm \sqrt{ 1 } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ =} { 4 \cdot 3
}
{ =} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { 4 \cdot 1
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-4x +2
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[1,2]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(2)
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es muss also nach
Korollar 52.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
eine Nullstelle im Intervall
\mathl{[1,2]}{} geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{} und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 8 } } - 4 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 27- 48+16 }{ 8 } }
}
{ =} {{ \frac{ -5 }{ 8 } }
}
{ <} { 0
}
}
{}{}{.}
Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , 2]}{} weitermachen. Dessen Intervallmitte ist
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 4 } }}{.} Der Funktionswert an dieser Stelle ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3 - 4 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 343 }{ 64 } } -5
}
{ =} { { \frac{ 343 - 320 }{ 64 } }
}
{ =} { { \frac{ 23 }{ 64 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , { \frac{ 7 }{ 4 } } ]}{} weitermachen, dessen Mitte ist
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 8 } }}{.} Der Funktionswert an dieser Stelle ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 13 }{ 8 } } \right) }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 13 }{ 8 } } \right) }^3 - 4 \cdot { \frac{ 13 }{ 8 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 2197 }{ 512 } } - { \frac{ 13 }{ 2 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 2197 -3328+1024 }{ 512 } }
}
{ =} { { \frac{ -107 }{ 512 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen
\mathkor {} {{ \frac{ 13 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 4 } } = { \frac{ 14 }{ 8 } }} {}
gibt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.
}
{Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei \zusatzklammer {zumindest} {} {} sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?
}
{
Es gibt $4$ Wurfreihenfolgen, bei denen die ersten sechs Würfe Kopf ergeben. Ferner
\zusatzklammer {im Sinne von disjunkt, damit nichts doppelt gezählt wird} {} {}
gibt es $2$ Wurfreihenfolgen, bei denen der $2.$ bis zum $7.$ Wurf Kopf ist und der erste Wurf kein Kopf ist. Ferner gibt es $2$ Wurfreihenfolgen, bei denen die sechs letzten Würfe Kopf ergeben, aber nicht der zweite Wurf. Es gibt also insgesamt $8$ Wurfreihenfolgen, bei denen zumindest $6$ Kopfwürfe hintereinander stattfinden. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 8 }{ 2^8 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2^3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 32 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_k}{} verschiedene
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und $n$ ihr Produkt. Wir betrachten den
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{{ \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.}
Es sei $E_i$ das Ereignis, das eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches von $p_i$ ist. Zeige, dass die $E_i$
\definitionsverweis {vollständig unabhängig}{}{}
sind.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \{ 1 , \ldots , k \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Ereignis
\mathl{\bigcap_{i \in I} E_i}{} besteht aus allen Zahlen aus $M$, die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen
\mathbed {p_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {}
sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus $M$, die Vielfache vom Produkt $\prod_{i \in I} p_i$ sind. Dies sind die Zahlen
\mathdisp {{ \left\{ \prod_{i \in I} p_i \cdot \ell \mid \ell = 1,2 , \ldots , \prod_{j \notin I} p_j \right\} }} { , }
da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i \in I} p_i \cdot \prod_{j \notin I} p_j
}
{ =} { \prod_{i = 1}^k p_i
}
{ =} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Maximum aus $M$ ergibt. Die Menge
\mathl{\bigcap_{i \in I} E_i}{} besteht also aus
\mathl{\prod_{j \notin I} p_j}{} Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P { \left( \bigcap_{i \in I} E_i \right) }
}
{ =} { { \frac{ \prod_{j \notin I} p_j }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ \prod_{j \notin I} p_j }{ \prod_{i \in I} p_i \cdot \prod_{j \notin I} p_j } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \prod_{i \in I} p_i } }
}
{ =} { \prod_{i \in I} { \frac{ 1 }{ p_i } }
}
}
{}{}{.}
Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen $I$ gilt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E_i)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ p_i } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P { \left( \bigcap_{i \in I} E_i \right) }
}
{ =} { \prod_{i \in I} P(E_i)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{,}
was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.
}