Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 10 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 1 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 10 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Basis} {} im $K^m$.

}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.

}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.

}{Der \stichwort {Polynomring} {} über einem Körper $K$ \zusatzklammer {einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen} {} {.}

}{Das \stichwort {Cauchy-Folgen-Modell} {} für die reellen Zahlen.

}{Ein \stichwort {Laplace-Raum} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$ heißen eine Basis des $K^m$, wenn man jeden Vektor
\mathl{w \in K^m}{} eindeutig als eine \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} mit den Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} schreiben kann. }{Die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i \in I$. }{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$. }{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$. } }{Eine Folge in $M$ ist eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\N} {M } {n} {x_n } {.} }{Der Polynomring über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ besteht aus allen Polynomen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_i \in K}{,}
\mathl{n \in \N}{,} und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m }
{ \defeq} { X^{n+m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. }{Der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{C/N}{} des Ringes $C$ der rationalen \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen. }{Ein Laplace-Raum ist eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} $M$ zusammen mit derjenigen \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{} \maabbdisp {\lambda} {M} { \R_{\geq 0} } {,} die jedem Element
\mathl{x \in M}{} den konstanten Wert
\mathl{{ \frac{ 1 }{ { \# \left( M \right) } } }}{} zuweist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.}{Der \stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein \zusatzklammer {affiner} {} {} Unterraum des $K^n$. Dabei kann man jede Lösung
\mathl{P \in S}{} als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.}{Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine Intervallschachtelung in $\R$. Dann besteht der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{10}
{

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

}
{Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +4 w & = & -2 \\ 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 7 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 3 \\ x & +3 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }

}
{

Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
\mathl{IV-5I}{} hinzunehmen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 7 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 3 \\ -14 x & +3 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & -20 w & = & 9 \, . \end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir \zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III+20I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & +4 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -4 \\ 26 x & +43 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 149 \, . \end{matrix}} { }
Mit
\mathl{13I-II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 y }
{ =} {-201 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { -{ \frac{ 67 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { -2-2y }
{ =} { { \frac{ 128 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w }
{ =} {7-2x-2y }
{ =} { -{ \frac{ 115 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { -2-3x-4w }
{ =} { { \frac{ 70 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 2.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {5Geraden4Schnittpunkte 3.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 5Geraden4Schnittpunkte 3.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}












$\,$

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} von
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 9 }{ 4 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 50 }{ 3 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 2 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { . }

}
{

Die inverse Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 4 }{ 9 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 3 }{ 50 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 3 }{ 5 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{-7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 11 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\,$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $A$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $B$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $C$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $D$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $A$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $B$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $C$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $D$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ \, }

\renewcommand{\azweixzwei}{ \times }

\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }

\renewcommand{\azweixvier}{ \times }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ \, }

\renewcommand{\adreixzwei}{ \, }

\renewcommand{\adreixdrei}{ \times }

\renewcommand{\adreixvier}{ \, }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ \, }

\renewcommand{\avierxzwei}{ \times }

\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }

\renewcommand{\avierxvier}{ \times }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

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\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

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\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitvierxvier

beschriebene \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf der Menge
\mathl{\{A,B,C,D\}}{} \definitionsverweis {reflexiv}{}{,} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{,} \definitionsverweis {transitiv}{}{,} \definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{} ist.

}
{

Die Relation ist nicht reflexiv, da $A$ nicht zu sich selbst in Beziehung steht. Die Relation ist symmetrisch, da die einzigen Relationsbeziehungen zwischen verschiedenen Elementen die Relation zwischen \mathkor {} {B} {und} {D} {} ist, und diese in beide Richtungen gegeben ist. Daher ist die Relation auch nicht antisymmetrisch. Die Relation ist transitiv. Der einzige zu überprüfende nichttriviale Voraussetzung ist
\mathl{BRD}{} und
\mathl{DRB}{,} wobei die Konklusion wegen \mathkor {} {BRB} {und} {DRD} {} gilt.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{

Es sei \maabb {p} {\Z} { \Z/(2) } {} und \maabb {q} {\Z} { \Z/(5) } {} die kanonischen Abbildungen in die \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{} \mathkor {} {\Z/(2)} {bzw.} {\Z/(5)} {.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z } { \Z/(2) \times \Z/(5) } {x} { (p(x),q(x)) } {.} \aufzaehlungdrei{Berechne
\mathl{\varphi(113)}{.} }{Finde ein Urbild von
\mathl{(\overline{1}, \overline{0})}{} und eines von
\mathl{(\overline{0}, \overline{1})}{.} }{Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(113) }
{ =} { (\overline{1},\overline{3}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(5) }
{ =} { (\overline{1},\overline{0}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(6) }
{ =} { (\overline{0},\overline{1}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Bilder von
\mathl{0,1,2 , \ldots , 9}{} sind der Reihe nach
\mathdisp {(\overline{0},\overline{0}) , \, (\overline{1},\overline{1}) , \, (\overline{0},\overline{2}) , \, (\overline{1},\overline{3}) , \, (\overline{0},\overline{4}) , \, (\overline{1},\overline{0}) , \, (\overline{0},\overline{1}) , \, (\overline{1},\overline{2}) , \, (\overline{0},\overline{3}) , \, (\overline{1},\overline{4})} { , }
damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }

}
{

Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10} }
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30} }
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2 }
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2 }
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30} }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 +2 \sqrt{30} }
{ >} { 2 \sqrt{30} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10} }
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n -a }
{ \leq} { y_n-a }
{ \leq} { z_n-a }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mathl{y_n-a \geq 0}{} ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a } }
{ \leq} { \betrag { z_n-a } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und bei
\mathl{y_n-a \leq 0}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a } }
{ \leq} { \betrag { x_n-a } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a } }
{ \leq} { {\max { \left( \betrag { x_n-a } , \betrag { z_n-a } \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für ein vorgegebenes
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen $a$ natürliche Zahlen
\mathbed {n_1} {und}
{n_2} {}
{} {} {} {} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-a } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{n \geq n_1}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z_n-a } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{n \geq n_2}{} gilt. Für
\mathl{n \geq n_0 = {\max { \left( n_1 , n_2 \right) } }}{} gilt daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-a } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies bedeutet die Konvergenz von $y_n$ gegen $a$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} $K$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist?

}
{

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n} -x_{n-1} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel ***** nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{10 (1+1+5+2+1)}
{

Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0,1$ oder $2$ besitzt \zusatzklammer {Periodenlänge $0$ bedeutet \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}} {} {.} \aufzaehlungfuenf{Gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 11 } }}{} zu $M$? }{Gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 37 } }}{} zu $M$? }{Wie sieht man einem gekürzten Bruch
\mathl{a/b}{} an, ob er zu $M$ gehört oder nicht? }{Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $\R$? }{Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $\R$? }

}
{

\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 11 } } }
{ =} { 0, \overline{09} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Periodenlänge ist also $2$ und somit gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 11 } }}{} zu $M$. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 37 } } }
{ =} { 0, \overline{027} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Periodenlänge ist also $3$ und somit gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 37 } }}{} nicht zu $M$. }{Ein gekürzter Bruch
\mathl{a/b}{} gehört genau dann zu $M$, wenn $b$ die Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} {2^i 5^j 3^k 11^\ell }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \leq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell }
{ \leq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt. Sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn $x$ die Periodenlänge $0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und $x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn $x$ die Periodenlänge $2$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge $1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x }
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} \overline{wz} }
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + 0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n \text{ Nullen} } \overline{wz} }
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + wz \cdot 0,0 \ldots 0 \overline{01} }
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + wz \cdot 10^n \cdot 0, \overline{01} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { z_m z_2 z_1,z_{-1} \ldots z_{-n} + wz \cdot 10^n \cdot { \frac{ 1 }{ 99 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{} vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{99 }
{ = }{9 \cdot 11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Nenner geschrieben werden. Das Element $x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

Sei umgekehrt ein Bruch der Form
\mathdisp {{ \frac{ a }{ 10^{i} } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3^k \cdot 11^{\ell} } }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \leq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell }
{ \leq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben, wobei in $a$ die Primfaktoren \mathkor {} {3} {und} {11} {} nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 9 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 11 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 33 } } ,\, { \frac{ 1 }{ 99 } }} { }
besitzen die Periodenlänge \mathkor {} {1} {oder} {2} {.} }{Die Null \zusatzklammer {Periodenlänge null} {} {} gehört zu $M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus $M$ kann man nach Teil (3) als \zusatzklammer {nicht unbedingt gekürzt} {} {} \mathkor {} {x = { \frac{ c }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } }} {und} {y = { \frac{ d }{ 10^j \cdot 11 \cdot 9 } }} {} schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y }
{ =} {{ \frac{ c }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } } + { \frac{ d }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } } }
{ =} {{ \frac{ c+d }{ 10^i \cdot 11 \cdot 9 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und dies gehört wieder zu $M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von $\R$. }{Es liegt kein Unterring vor, da \mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 9 } }} {} beide zu $M$ gehören, ihr Produkt, also
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 27 } }}{,} ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 27 } } }
{ =} { 0, \overline{037} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und besitzt die Periodenlänge $3$, gehört also nicht zu $M$. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen \zusatzklammer {
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n }
{ =} {[a_n,b_n] }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} vorliegt.

}
{

Für $n$ gerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a_n,b_n] }
{ =} { [0, { \frac{ 1 }{ n } } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für $n$ ungerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a_n,b_n] }
{ =} { [- { \frac{ 1 }{ n } }, 0 ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Intervalllänge ist stets ${ \frac{ 1 }{ n } }$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{n \in \N_+} [a_n,b_n] }
{ =} { \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3 x^2+ x+4 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\Z/(7)$.

}
{

Die normierte Gleichung ist \zusatzklammer {Multiplikation mit $5$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+5x+6 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die p-q-Formel ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ -5 \pm \sqrt{ 25- 4\cdot 6} }{ 2 } } }
{ =} { 4 { \left( 2 \pm \sqrt{ 1 } \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ =} { 4 \cdot 3 }
{ =} { 5 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 }
{ =} { 4 \cdot 1 }
{ =} { 4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-4x +2 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[1,2]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{

Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(2) }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} es muss also nach Fakt ***** eine Nullstelle im Intervall
\mathl{[1,2]}{} geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{} und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 27 }{ 8 } } - 4 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 27- 48+16 }{ 8 } } }
{ =} {{ \frac{ -5 }{ 8 } } }
{ <} { 0 }
} {}{}{.} Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , 2]}{} weitermachen. Dessen Intervallmitte ist
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 4 } }}{.} Der Funktionswert an dieser Stelle ist


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) } }
{ =} { { \left( { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3 - 4 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 343 }{ 64 } } -5 }
{ =} { { \frac{ 343 - 320 }{ 64 } } }
{ =} { { \frac{ 23 }{ 64 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { 0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , { \frac{ 7 }{ 4 } } ]}{} weitermachen, dessen Mitte ist
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 8 } }}{.} Der Funktionswert an dieser Stelle ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 13 }{ 8 } } \right) } }
{ =} { { \left( { \frac{ 13 }{ 8 } } \right) }^3 - 4 \cdot { \frac{ 13 }{ 8 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 2197 }{ 512 } } - { \frac{ 13 }{ 2 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 2197 -3328+1024 }{ 512 } } }
{ =} { { \frac{ -107 }{ 512 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { 0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 13 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 4 } } = { \frac{ 14 }{ 8 } }} {} gibt.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.

}
{Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei \zusatzklammer {zumindest} {} {} sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?

}
{

Es gibt $4$ Wurfreihenfolgen, bei denen die ersten sechs Würfe Kopf ergeben. Ferner \zusatzklammer {im Sinne von disjunkt, damit nichts doppelt gezählt wird} {} {} gibt es $2$ Wurfreihenfolgen, bei denen der $2.$ bis zum $7.$ Wurf Kopf ist und der erste Wurf kein Kopf ist. Ferner gibt es $2$ Wurfreihenfolgen, bei denen die sechs letzten Würfe Kopf ergeben, aber nicht der zweite Wurf. Es gibt also insgesamt $8$ Wurfreihenfolgen, bei denen zumindest $6$ Kopfwürfe hintereinander stattfinden. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 8 }{ 2^8 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2^3 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 32 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_k}{} verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} und $n$ ihr Produkt. Wir betrachten den \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{{ \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.} Es sei $E_i$ das Ereignis, das eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches von $p_i$ ist. Zeige, dass die $E_i$ \definitionsverweis {vollständig unabhängig}{}{} sind.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \{ 1 , \ldots , k \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das Ereignis
\mathl{\bigcap_{i \in I} E_i}{} besteht aus allen Zahlen aus $M$, die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen
\mathbed {p_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {} sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus $M$, die Vielfache vom Produkt $\prod_{i \in I} p_i$ sind. Dies sind die Zahlen
\mathdisp {{ \left\{ \prod_{i \in I} p_i \cdot \ell \mid \ell = 1,2 , \ldots , \prod_{j \notin I} p_j \right\} }} { , }
da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i \in I} p_i \cdot \prod_{j \notin I} p_j }
{ =} { \prod_{i = 1}^k p_i }
{ =} {n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Maximum aus $M$ ergibt. Die Menge
\mathl{\bigcap_{i \in I} E_i}{} besteht also aus
\mathl{\prod_{j \notin I} p_j}{} Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P { \left( \bigcap_{i \in I} E_i \right) } }
{ =} { { \frac{ \prod_{j \notin I} p_j }{ n } } }
{ =} { { \frac{ \prod_{j \notin I} p_j }{ \prod_{i \in I} p_i \cdot \prod_{j \notin I} p_j } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \prod_{i \in I} p_i } } }
{ =} { \prod_{i \in I} { \frac{ 1 }{ p_i } } }
} {}{}{.} Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen $I$ gilt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E_i) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ p_i } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P { \left( \bigcap_{i \in I} E_i \right) } }
{ =} { \prod_{i \in I} P(E_i) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{,} was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.

}