Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	2	1	2	3	3	4	3	10	2	2	3	1	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Basis im ${}K^{m}$.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
6. Ein Laplace-Raum.

Lösung

1. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen eine Basis des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann.
2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Eine Folge in ${}M$ ist eine Abbildung

   $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$

4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

5. Der Restklassenring ${}C/N$ des Ringes ${}C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals ${}N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
6. Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte

   $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

   die jedem Element ${}x\in M$ den konstanten Wert ${}{\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.

Lösung

1. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn ${}n$ eine Primzahl ist.
2. Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&-2\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und ${}IV-5I$ hinzunehmen. Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&9\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}II-I$ und ${}III+20I$ ausrechnen. Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-4\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&149\,.\end{matrix}}$

Mit ${}13I-II$ ergibt sich

${}9y=-201\,$

und

${}y=-{\frac {67}{3}}\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}x=-2-2y={\frac {128}{3}}\,,$

${}w=7-2x-2y=-{\frac {101}{3}}\,$

und

${}z=-2-3x-4w={\frac {14}{3}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Lösung

${}\,$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}-{\frac {9}{4}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {50}{3}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {2}{11}}\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die inverse Matrix ist

${\begin{pmatrix}-{\frac {4}{9}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {3}{50}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {3}{5}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{-7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {11}{2}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

${}\,$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$
${}A$	${}\,$	${}\,$	${}\,$	${}\,$
${}B$	${}\,$	${}\times$	${}\,$	${}\times$
${}C$	${}\,$	${}\,$	${}\times$	${}\,$
${}D$	${}\,$	${}\times$	${}\,$	${}\times$

beschriebene Relation ${}R$ auf der Menge ${}\{A,B,C,D\}$ reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.

Lösung

Die Relation ist nicht reflexiv, da ${}A$ nicht zu sich selbst in Beziehung steht. Die Relation ist symmetrisch, da die einzigen Relationsbeziehungen zwischen verschiedenen Elementen die Relation zwischen ${}B$ und ${}D$ ist, und diese in beide Richtungen gegeben ist. Daher ist die Relation auch nicht antisymmetrisch. Die Relation ist transitiv. Der einzige zu überprüfende nichttriviale Voraussetzung ist ${}BRD$ und ${}DRB$, wobei die Konklusion wegen ${}BRB$ und ${}DRD$ gilt.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}p\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(2)$ und ${}q\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(5)$ die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(2)$ bzw. ${}\mathbb {Z} /(5)$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(5),\,x\longmapsto (p(x),q(x)).$

1. Berechne ${}\varphi (113)$.
2. Finde ein Urbild von ${}({\overline {1}},{\overline {0}})$ und eines von ${}({\overline {0}},{\overline {1}})$.
3. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (113)=({\overline {1}},{\overline {3}})\,.$

2. Es ist

   ${}\varphi (5)=({\overline {1}},{\overline {0}})\,$

   und

   ${}\varphi (6)=({\overline {0}},{\overline {1}})\,.$

3. Die Bilder von ${}0,1,2,\ldots ,9$ sind der Reihe nach

   $({\overline {0}},{\overline {0}}),\,({\overline {1}},{\overline {1}}),\,({\overline {0}},{\overline {2}}),\,({\overline {1}},{\overline {3}}),\,({\overline {0}},{\overline {4}}),\,({\overline {1}},{\overline {0}}),\,({\overline {0}},{\overline {1}}),\,({\overline {1}},{\overline {2}}),\,({\overline {0}},{\overline {3}}),\,({\overline {1}},{\overline {4}}),$

   damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst.

Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$

Lösung

Wir fragen uns, ob

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\,$

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

${}3+10+2{\sqrt {30}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\right)}^{2}>{\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=5+6+2{\sqrt {30}}\,.$

Dies ist durch Subtraktion mit ${}11$ äquivalent zu

${}2+2{\sqrt {30}}>2{\sqrt {30}}\,,$

was stimmt. Also ist

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}>{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Lösung

Es ist

${}x_{n}-a\leq y_{n}-a\leq z_{n}-a\,.$

Bei ${}y_{n}-a\geq 0$ ist somit

${}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {z_{n}-a}\vert \,$

und bei ${}y_{n}-a\leq 0$ ist

${}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \vert {x_{n}-a}\vert \,.$

Daher ist stets

${}\vert {y_{n}-a}\vert \leq {\max {\left(\vert {x_{n}-a}\vert ,\vert {z_{n}-a}\vert \right)}}\,.$

Für ein vorgegebenes ${}\epsilon >0$ gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen ${}a$ natürliche Zahlen ${}n_{1}$ und ${}n_{2}$ derart, dass

${}\vert {x_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$

für ${}n\geq n_{1}$ und

${}\vert {z_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,$

für ${}n\geq n_{2}$ gilt. Für ${}n\geq n_{0}={\max {\left(n_{1},n_{2}\right)}}$ gilt daher

${}\vert {y_{n}-a}\vert \leq \epsilon \,.$

Dies bedeutet die Konvergenz von ${}y_{n}$ gegen ${}a$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Es gelte

${}\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Folgt daraus, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?

Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch

${}x_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\,$

gegeben ist. Es ist dann

${}x_{n}-x_{n-1}={\frac {1}{n}}\,$

und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.

Aufgabe (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge ${}0,1$ oder ${}2$ besitzt (Periodenlänge ${}0$ bedeutet Dezimalbruch).

1. Gehört ${}{\frac {1}{11}}$ zu ${}M$?
2. Gehört ${}{\frac {1}{37}}$ zu ${}M$?
3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch ${}a/b$ an, ob er zu ${}M$ gehört oder nicht?
4. Ist ${}M$ mit der Addition eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$?
5. Ist ${}M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ${}\mathbb {R}$?

Lösung

1. Es ist

   ${}{\frac {1}{11}}=0,{\overline {09}}\,,$

   die Periodenlänge ist also ${}2$ und somit gehört ${}{\frac {1}{11}}$ zu ${}M$.

2. Es ist

   ${}{\frac {1}{37}}=0,{\overline {027}}\,,$

   die Periodenlänge ist also ${}3$ und somit gehört ${}{\frac {1}{37}}$ nicht zu ${}M$.

3. Ein gekürzter Bruch ${}a/b$ gehört genau dann zu ${}M$, wenn ${}b$ die Primfaktorzerlegung

   ${}b=2^{i}5^{j}3^{k}11^{\ell }\,$

   mit ${}k\leq 2$ und ${}\ell \leq 1$ besitzt. Es sei dazu ${}z\in M$. Wenn ${}x$ die Periodenlänge ${}0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und ${}x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn ${}x$ die Periodenlänge ${}2$ besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge ${}1$ vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

   ${}{\begin{aligned}x&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}{\overline {wz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+0,\underbrace {0\ldots 0} _{n{\text{ Nullen}}}{\overline {wz}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+wz\cdot 0,0\ldots 0{\overline {01}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+wz\cdot 10^{n}\cdot 0,{\overline {01}}\\&=z_{m}z_{2}z_{1},z_{-1}\ldots z_{-n}+wz\cdot 10^{n}\cdot {\frac {1}{99}}\end{aligned}}$

   vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal ${}99=9\cdot 11$ im Nenner geschrieben werden. Das Element ${}x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

   Es sei umgekehrt ein Bruch der Form

   ${\frac {a}{10^{i}}}\cdot {\frac {1}{3^{k}\cdot 11^{\ell }}}$

   mit ${}k\leq 2$ und ${}\ell \leq 1$ gegeben, wobei in ${}a$ die Primfaktoren ${}3$ und ${}11$ nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

   ${\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},\,{\frac {1}{11}},\,{\frac {1}{33}},\,{\frac {1}{99}}$

   besitzen die Periodenlänge ${}1$ oder ${}2$.

4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu ${}M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus ${}M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) ${}x={\frac {c}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}$ und ${}y={\frac {d}{10^{j}\cdot 11\cdot 9}}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir ${}i=j$ annehmen. Daher ist

   ${}x+y={\frac {c}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}+{\frac {d}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}={\frac {c+d}{10^{i}\cdot 11\cdot 9}}\,$

   und dies gehört wieder zu ${}M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$.

5. Es liegt kein Unterring vor, da ${}{\frac {1}{3}}$ und ${}{\frac {1}{9}}$ beide zu ${}M$ gehören, ihr Produkt, also ${}{\frac {1}{27}}$, ist aber

   ${}{\frac {1}{27}}=0,{\overline {037}}\,$

   und besitzt die Periodenlänge ${}3$, gehört also nicht zu ${}M$.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Lösung

Für ${}n$ gerade sei

${}[a_{n},b_{n}]=[0,{\frac {1}{n}}]\,$

und für ${}n$ ungerade sei

${}[a_{n},b_{n}]=[-{\frac {1}{n}},0]\,.$

Die Intervalllänge ist stets ${}{\frac {1}{n}}$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist

${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}[a_{n},b_{n}]=\{0\}\,.$

Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Löse die quadratische Gleichung ${}3x^{2}+x+4=0$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Lösung

Die normierte Gleichung ist (Multiplikation mit ${}5$)

${}x^{2}+5x+6=0\,.$

Die p-q-Formel ergibt

${}x_{1,2}={\frac {-5\pm {\sqrt {25-4\cdot 6}}}{2}}=4{\left(2\pm {\sqrt {1}}\right)}\,.$

Somit ist

${}x_{1}=4\cdot 3=5\,$

und

${}x_{2}=4\cdot 1=4\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[1,2]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Lösung

Es ist ${}f(1)=-1$ und ${}f(2)=2$, es muss also nach Korollar 52.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) eine Nullstelle im Intervall ${}[1,2]$ geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte ${}{\frac {3}{2}}$ und erhalten

${}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}-4\cdot {\frac {3}{2}}+2={\frac {27-48+16}{8}}={\frac {-5}{8}}<0\,.$

Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall ${}[{\frac {3}{2}},2]$ weitermachen. Dessen Intervallmitte ist ${}{\frac {7}{4}}$. Der Funktionswert an dieser Stelle ist

${}f{\left({\frac {7}{4}}\right)}={\left({\frac {7}{4}}\right)}^{3}-4\cdot {\frac {7}{4}}+2={\frac {343}{64}}-5={\frac {343-320}{64}}={\frac {23}{64}}>0\,.$

Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall ${}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$ weitermachen, dessen Mitte ist ${}{\frac {13}{8}}$. Der Funktionswert an dieser Stelle ist

${}f{\left({\frac {13}{8}}\right)}={\left({\frac {13}{8}}\right)}^{3}-4\cdot {\frac {13}{8}}+2={\frac {2197}{512}}-{\frac {13}{2}}+2={\frac {2197-3328+1024}{512}}={\frac {-107}{512}}<0\,.$

Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen ${}{\frac {13}{8}}$ und ${}{\frac {7}{4}}={\frac {14}{8}}$ gibt.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.

Lösung Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei (zumindest) sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?

Lösung

Es gibt ${}4$ Wurfreihenfolgen, bei denen die ersten sechs Würfe Kopf ergeben. Ferner (im Sinne von disjunkt, damit nichts doppelt gezählt wird) gibt es ${}2$ Wurfreihenfolgen, bei denen der ${}2.$ bis zum ${}7.$ Wurf Kopf ist und der erste Wurf kein Kopf ist. Ferner gibt es ${}2$ Wurfreihenfolgen, bei denen die sechs letzten Würfe Kopf ergeben, aber nicht der zweite Wurf. Es gibt also insgesamt ${}8$ Wurfreihenfolgen, bei denen zumindest ${}6$ Kopfwürfe hintereinander stattfinden. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist somit

${}{\frac {8}{2^{8}}}={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{32}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ verschiedene Primzahlen und ${}n$ ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei ${}E_{i}$ das Ereignis, das eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches von ${}p_{i}$ ist. Zeige, dass die ${}E_{i}$ vollständig unabhängig sind.

Lösung

Sei ${}I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$. Das Ereignis ${}\bigcap _{i\in I}E_{i}$ besteht aus allen Zahlen aus ${}M$, die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen ${}p_{i}$, ${}i\in I$ sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus ${}M$, die Vielfache vom Produkt ${}\prod _{i\in I}p_{i}$ sind. Dies sind die Zahlen

${\left\{\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \ell \mid \ell =1,2,\ldots ,\prod _{j\notin I}p_{j}\right\}},$

da ja

${}\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \prod _{j\notin I}p_{j}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}=n\,$

das Maximum aus ${}M$ ergibt. Die Menge ${}\bigcap _{i\in I}E_{i}$ besteht also aus ${}\prod _{j\notin I}p_{j}$ Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}={\frac {\prod _{j\notin I}p_{j}}{n}}={\frac {\prod _{j\notin I}p_{j}}{\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \prod _{j\notin I}p_{j}}}={\frac {1}{\prod _{i\in I}p_{i}}}=\prod _{i\in I}{\frac {1}{p_{i}}}\,.$

Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen ${}I$ gilt, ist

${}P(E_{i})={\frac {1}{p_{i}}}\,$

und somit ist

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,,$

was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.