Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 10 4 2 1 2 3 3 4 3 10 2 2 3 1 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Eine Folge in einer Menge .
  4. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  5. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
  6. Ein Laplace-Raum.


Lösung

  1. Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann.
  2. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  3. Eine Folge in ist eine Abbildung
  4. Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.

  5. Der Restklassenring des Ringes der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
  6. Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte

    die jedem Element den konstanten Wert zuweist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über . Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner)

    Unterraum des . Dabei kann man jede Lösung als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
  2. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .
  3. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.


Lösung

5Geraden4Schnittpunkte.png
5Geraden4Schnittpunkte 2.png
5Geraden4Schnittpunkte 3.png













Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von


Lösung

Die inverse Matrix ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

beschriebene Relation auf der Menge reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.


Lösung

Die Relation ist nicht reflexiv, da nicht zu sich selbst in Beziehung steht. Die Relation ist symmetrisch, da die einzigen Relationsbeziehungen zwischen verschiedenen Elementen die Relation zwischen und ist, und diese in beide Richtungen gegeben ist. Daher ist die Relation auch nicht antisymmetrisch. Die Relation ist transitiv. Der einzige zu überprüfende nichttriviale Voraussetzung ist und , wobei die Konklusion wegen und gilt.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei und die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe bzw. . Wir betrachten die Abbildung

  1. Berechne .
  2. Finde ein Urbild von und eines von .
  3. Zeige, dass surjektiv ist.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist

    und

  3. Die Bilder von sind der Reihe nach

    damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

was stimmt. Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper . Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch

gegeben ist. Es ist dann

und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel ***** nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.


Aufgabe (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?


Lösung

  1. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört zu .

  2. Es ist

    die Periodenlänge ist also und somit gehört nicht zu .

  3. Ein gekürzter Bruch gehört genau dann zu , wenn die Primfaktorzerlegung

    mit und besitzt. Sei dazu . Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn die Periodenlänge besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

    vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal im Nenner geschrieben werden. Das Element erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

    Sei umgekehrt ein Bruch der Form

    mit und gegeben, wobei in die Primfaktoren und nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

    besitzen die Periodenlänge oder .

  4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) und schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir annehmen. Daher ist

    und dies gehört wieder zu . Somit handelt es sich um eine Untergruppe von .

  5. Es liegt kein Unterring vor, da und beide zu gehören, ihr Produkt, also , ist aber

    und besitzt die Periodenlänge , gehört also nicht zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Lösung

Für gerade sei

und für ungerade sei

Die Intervalllänge ist stets , also bilden diese eine Nullfolge. Es ist

Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die quadratische Gleichung über .


Lösung

Die normierte Gleichung ist (Multiplikation mit )

Die p-q-Formel ergibt

Somit ist

und


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Es ist und , es muss also nach Fakt ***** eine Nullstelle im Intervall geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte und erhalten

Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall weitermachen. Dessen Intervallmitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall weitermachen, dessen Mitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen und gibt.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.


Lösung Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei (zumindest) sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?


Lösung

Es gibt Wurfreihenfolgen, bei denen die ersten sechs Würfe Kopf ergeben. Ferner (im Sinne von disjunkt, damit nichts doppelt gezählt wird) gibt es Wurfreihenfolgen, bei denen der bis zum Wurf Kopf ist und der erste Wurf kein Kopf ist. Ferner gibt es Wurfreihenfolgen, bei denen die sechs letzten Würfe Kopf ergeben, aber nicht der zweite Wurf. Es gibt also insgesamt Wurfreihenfolgen, bei denen zumindest Kopfwürfe hintereinander stattfinden. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, das eine Zahl aus ein Vielfaches von ist. Zeige, dass die vollständig unabhängig sind.


Lösung

Sei . Das Ereignis besteht aus allen Zahlen aus , die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen , sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus , die Vielfache vom Produkt sind. Dies sind die Zahlen

da ja

das Maximum aus ergibt. Die Menge besteht also aus Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit

Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen gilt, ist

und somit ist

was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.