Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/27/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	5	0	0	0	0	0	0	2	0	3	0	2	0	0	4	22

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Der gemeinnützige Verein „Bobbycarbahn für alle Kinder“ errichtet Bobbycarbahnen. Diese werden aus quadratischen Grundplatten (mit einer Seitenlänge von ${}0,7$ Metern) zusammengesetzt, die entweder gegenüberliegende Seitenberandungen (Typ ${}A$ ; hier fährt man parallel zur Seitenberandung) oder an einer Ecke anliegende Seitenberandungen haben (Typ ${}B$ , in der Ecke gegenüber den Seiten gibt es eine kleine Eckberandung; hier fährt man eine Kurve).

Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus ${}16$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Skizziere eine mögliche Anordnung der Grundplatten.
Wie viele Platten vom Typ ${}A$ und wie viele vom Typ ${}B$ werden in Ihrer Skizze verwendet?
Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus ${}9$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Begründe, dass dies nicht möglich ist.

Lösung

${}\,$
${}\,$
Wir beginnen in der Mitte. Ohne Einschränkung (durch Drehung bzw. eine Spiegelung) verläuft der Weg nach oben und dann nach links. Dann muss er in das Eck links oben laufen und dann nach unten. In die Mitte kann es nicht zurückgehen, sonst würden die anderen Platten nicht erreicht werden. Also verläuft der Weg weiter nach unten links und dann unten nach rechts und schließlich nach oben. Rechts in der Mitte kann der Weg nicht in die Mitte, sonst würde die Eckplatte rechts oben nicht getroffen. Wenn diese getroffen wird, so kann man von dort nicht in die Mitte und es entsteht kein geschlossener Weg.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ . Untersuche die Folge

{}x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}\,

auf Konvergenz.

Lösung

Die Folge konvergiert gegen ${}0$ . Der Nenner ist monoton wachsend in ${}n$ und daher ist die Folge monoton fallend. Für ${}n=m^{k}$ ist

{}x_{n}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{k}]{m^{k}}}}={\frac {1}{m}}\,

und dies konvergiert gegen ${}0$ .

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$ . Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$ , die die Gleichung

{}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,

erfüllen?

Lösung

Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen

{}x=-3\,

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}-6$ ) und

{}x=-1\,

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}0$ ). Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad ${}3$ , daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von ${}{\frac {1}{2}}$ cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von ${}2$ cm und die Flasche hat einen Durchmesser von ${}6$ cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?