Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/29/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6	0	3	0	3	0	3	21

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Wir betrachten Ausdrücke der Form

$\ldots z_{3}z_{2}z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, die sowohl nach vorne als auch nach hinten unendlich weiter gehen.

1. Interpretiere einen solchen Ausdruck als eine Folge ${}x_{n}$ in ${}K$.
2. Was muss man zu ${}x_{n}$ hinzuaddieren, um ${}x_{n+1}$ zu erhalten.
3. Wann ist eine solche Folge ${}x_{n}$ eine Cauchy-Folge?

Lösung

1. Ähnlich wie bei Dezimalbruchfolgen sei die Folge dadurch gegeben, dass nur die Ziffern bis zur ${}n$-ten Vorkommaziffer und bis zur ${}n$-ten Nachkommaziffer berücksichtigt werden, also

   ${}x_{n}=\sum _{i=-n}^{n}z_{i}10^{i}\,.$

2. Es ist

   ${}x_{n+1}=x_{n}+z_{n+1}10^{n+1}+z_{-n-1}10^{-n-1}\,.$

3. Die Folge ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn vor dem Komma alle Ziffern ${}z_{n}$ ab einer bestimmten Stelle ${}n_{0}$ gleich ${}0$ sind. In diesem Fall liegt (ab dem ${}n_{0}$-ten Folgenglied) eine gewöhnliche Dezimalbruchfolge vor, und diese ist nach Fakt ***** eine Cauchy-Folge. Wenn hingegen unendlich viele Vorkommazifferen ungleich ${}0$ sind, so ist die Folge unbeschränkt, und kann nach Fakt ***** keine Cauchy-Folge sein.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Wir nennen eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ streng konvergent gegen ${}x$, wenn sie gegen ${}x$ konvergiert und zusätzlich die Abstandsfolge ${}\vert {x_{n}-x}\vert$ fallend ist. Ist die Summe von zwei streng konvergenten Folgen wieder streng konvergent?

Lösung

Das ist nicht der Fall. Wir betrachten die Folge

${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,,$

die streng gegen ${}0$ konvergiert, und die Folge

${}y_{n}=(-1)^{n}{\frac {1}{n}}\,,$

die ebenfalls streng gegen ${}0$ konvergiert. Die Summenfolge ${}x_{n}+y_{n}$ hat dann bei ${}n$ gerade den Wert ${}{\frac {2}{n}}$ und bei ${}n$ ungerade den Wert ${}0$. Die Abstandsfolge zum Grenzwert ${}0$ ist daher abwechselnd ${}0$ und ${}{\frac {2}{n}}$ und ist somit nicht monoton fallend.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt ${}0,005$ Spülies. Er muss ${}10$ große Teller mit einem Durchmesser von ${}30$ Zentimetern, ${}6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von ${}20$ Zentimetern und ${}4$ zylinderförmige Becher, die ${}10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von ${}6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?

Lösung

Die (beidseitige) Fläche eines großen Tellers beträgt (in Quadratmeter)

${}2\cdot \pi \cdot 0,15^{2}=0,1413\,,$

die eines kleinen Tellers

${}2\cdot \pi \cdot 0,1^{2}=0,0628\,$

und die eines Bechers

${}2(\pi \cdot 0,03^{2}+2\cdot \pi \cdot 0,03\cdot 0,1)=2(0,0028+0,0188)=0,0432\,.$

Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich

${}10\cdot 0,1413+6\cdot 0,0628+4\cdot 0,0432=1,9626\,.$

Für einen Quadratmeter braucht er ${}200$ Sekunden, deshalb braucht er insgesamt

${}1,9626\cdot 200=392,52\,$

Sekunden, also ungefähr sechs einhalb Minuten.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es soll die Quadratwurzel ${}{\sqrt {7}}$ bestimmt werden. Gibt es prinzipielle Unterschiede, wenn man dies im Kopf, schriftlich, mit einem Taschenrechner oder mit einem Hochleistungscomputer durchführt.

Lösung Quadratwurzel von 7/Verschiedene Techniken/Präzision/Aufgabe/Lösung