Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere die zweite binomische Formel für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $x, y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne
\mathdisp {{ \left( 2x^3- xy^2z- 4 x^2 y^2 \right) } { \left( -2 x^3 - z- xyz \right) } - x^2 { \left( 4- 3y-5 xy^5 z \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{x\in R}{} und $n \in \N_+$. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{n}-1 }
{ =} {(x-1) { \left( x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3} + \cdots + x^2 + x +1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Z^2$ mit der \definitionsverweis {komponentenweisen}{}{} Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xy }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt, dass \mathkor {} {x} {oder} {y} {} gleich $0$ ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position
\mathl{(-2,3)\in \Z^2}{,} wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen \zusatzklammer {etwas größeren} {} {} Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der \definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Addition \zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Multiplikation mit $-1$, also die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {g} { -g } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe
\betonung{positiv}{} und
\betonung{negativ}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} besitzen. Wie sieht es in $\Z$ aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mathl{k,m,n}{} ganze Zahlen und
\mathl{x,y \in R}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungfuenf{Zu $n \in \N$ ist
\mathl{nx}{} \zusatzklammer {also die $n$-fache Summe von $x$ mit sich selbst} {} {} gleich
\mathl{(1 + \cdots + 1) \cdot x}{,} wobei links die $n$-fache Summe der $1 \in R$ mit sich selbst steht. }{Zu $n \in \N$ ist $-n$ \zusatzklammer {also die $n$-fache Summe des Negativen von $1$ mit sich selbst} {} {} gleich dem Negativen \zusatzklammer {in $R$} {} {} von $n=1 + \cdots + 1$. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (m+k) x }
{ =} { mx + kx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k ( x+y) }
{ =} { k x + ky }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (km) x }
{ =} { k (mx) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1} }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und es sei $B$ die Menge aller \definitionsverweis {bijektiven Abbildungen}{}{} von $M$ nach $M$. Zeige, dass $B$ mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von Abbildungen eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu
\mathl{f \in B}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element und sei \maabbeledisp {\varphi} {G} {G } {x} { x \circ g } {,} die Verknüpfung mit $g$. Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 19.8?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ = }{xx }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {angeordneten Ring}{}{} aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \leq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ \geq }{y^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a)
\mathl{4,-7,-6,8, 5}{,}

b)
\mathl{-3,-2,-1,0}{,}

c)
\mathl{-4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6}{.}

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen $0$ und einer beliebigen ganzen Zahl $n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen $1$ und einer beliebigen ganzen Zahl $n$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus
\mathdisp {a{{|}}b \text{ und } b{{|}}a} { }
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ \pm b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {5382 -6981} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {-75009 + 9817} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Darstellung der \definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { 5 \cdot 10^3 -70 \cdot 10^2 -3 \cdot 10^1 +6\cdot 10^0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Zehnersystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Darstellung der \definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { 11 \cdot 10^3 +6 \cdot 10^2 +4 \cdot 10^1 -2561 \cdot 10^0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Zehnersystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es liegen zwei ganze Zahlen \mathkor {} {m} {und} {n} {} im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe
\mathl{m+n}{} allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $x, y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( x^2-3 y z y-2z y^2+4 x y^2 \right) } { \left( 2 x y^3 x-z^2 x y x \right) } { \left( 1-3z y x z^2y \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für ganze Zahlen
\mathl{a,b,c \in \Z}{} genau dann das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+ (b \cdot c) }
{ =} { (a+b) \cdot (a+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a)
\mathl{-6,\,4,\,-5,\,3,\, 5}{,}

b)
\mathl{-7,\,-5,\,-6,\,-4}{,}

c)
\mathl{-6+2,\, 2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9}{.}

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {-4901 -5328} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die Darstellung der \definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { -3 \cdot 10^3 +31 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 -37\cdot 10^0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Zehnersystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass es für jede ganze Zahl $z$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { \sum_{i = 0}^n c_i 10^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-4 }
{ \leq} { c_i }
{ \leq} { 5 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i$ gibt.

}
{} {}