Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {589} {und} {837} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c}{} ganze Zahlen. Zeige für den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{GgT} (a,b,c) }
{ =} { {\operatorname{GgT} \, \left( {\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) } , c \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {116901} {und} {138689} {.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Flying-kangaroo.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gurru springt 8 Meter} }

\bildlizenz { Flying-kangaroo.jpg } {} {PanBK} {en Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways \zusatzklammer {$0$ Meter} {} {.} Gurru legt bei jedem Sprung $8$ Meter zurück, Gurinu nur $6$ Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {n} {und} {n+1} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{a,m,n}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{\operatorname{ggT} (a^m,a^n)}{.} } {Bestimme
\mathl{\operatorname{kgV} (a^m,a^n)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite \mathkor {} {255} {und} {561} {} \zusatzklammer {in Zentimeter} {} {} machen, Fredo kann Sprünge der Weite \mathkor {} {357} {und} {595} {} machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{n \geq 2}{.} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System \zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,} ob $n$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $k \geq 2$ eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} mit der folgenden Eigenschaft: Sobald $k$ ein Produkt
\mathl{ab}{} teilt, teilt $k$ bereits einen Faktor. Zeige, dass $k$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige durch Induktion nach $n$, dass wenn $p$ ein Produkt von $n$ Zahlen teilt, dass $p$ dann schon eine der Zahlen teilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen \mathkor {} {n} {und} {a} {} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $r$ und $s$ \definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.} Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ = }{ v(s,-r) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind: \aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ. }{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von
\mathl{-16}{.} }{$n$ ist kein Vielfaches von
\mathl{36}{.} }{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von
\mathl{125}{.} }{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist. } Was ist $n$?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Exponenten zu $2$ von
\mathl{203264}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und \maabbeledisp {\nu_p} {\Z \setminus \{0\}} { \N } {n} { \nu_p(n) } {,} der zugehörige $p$-\definitionsverweis {Exponent}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die Zahl $p^{\nu_p(n)}$ ist die größte Potenz von $p$, die $n$ teilt. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\nu_p( m \cdot n) }
{ =} { \nu_p( m ) + \nu_p( n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\nu_p( m + n) }
{ =} { \operatorname{min}( \nu_p( m ) , \nu_p( n) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m+n }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorausgesetzt} {} {.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte
\mathl{i \cdot j}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{ i,j }
{ \leq }{ 9 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stehen. Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} der Zahlen
\mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme $a_n$ für
\mathl{n=1,2,3,4,5}{.} }{Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ =} {a_{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} }{Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ =} {a_{n+1} }
{ =} {a_{n+2} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeiche $T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von $n$. Zeige die folgenden Aussagen über $T(n)$.

a) Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $n$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(n) }
{ =} {(r_1+1) (r_2+1) \cdots (r_k+1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Für teilerfremde Zahlen $n$ und $m$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T(nm) }
{ = }{T(n)T(m) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von $20!$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde unter den Zahlen $\leq 100$ diejenigen Zahlen mit der maximalen Anzahl an Teilern. Wie groß ist diese Anzahl?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}

b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b \in \N_+}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^b }
{ =} {b^a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist oder wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \{1,5,9,13,17, { \ldots } \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ist genau dann eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und es seien \mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {} \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $G$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {H_1 \cap H_2} { }
ebenfalls eine Untergruppe von $G$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {3277} {und} {10057} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass $p$ den \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathl{\binom { p } { k }}{} für alle
\mathl{k=1 , \ldots , p-1}{} \definitionsverweis {teilt}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Finde unter den Zahlen $\leq 1000000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

}
{} {}