Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 21

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung


Aufgabe *

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Gurru springt 8 Meter

Aufgabe

Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways ( Meter). Gurru legt bei jedem Sprung Meter zurück, Gurinu nur Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.


Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe *

Es seien natürliche Zahlen mit

  1. Bestimme .
  2. Bestimme .


Aufgabe *

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite und (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite und machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?


Aufgabe *

Es sei . Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im -System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob eine Primzahl ist.


Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald ein Produkt teilt, teilt bereits einen Faktor. Zeige, dass eine Primzahl ist.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige durch Induktion nach , dass wenn ein Produkt von Zahlen teilt, dass dann schon eine der Zahlen teilt.


Aufgabe

Es seien und natürliche Zahlen, deren Produkt von einer natürlichen Zahl geteilt werde. Die Zahlen und seien teilerfremd. Zeige, dass von geteilt wird.


Aufgabe

Seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung

die Gestalt hat, mit einer eindeutig bestimmten Zahl .


Aufgabe *

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?


Aufgabe *

Bestimme den Exponenten zu von .


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und

der zugehörige -Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Zahl ist die größte Potenz von , die teilt.
  2. Es ist
  3. Es ist

    (es sei vorausgesetzt).


Aufgabe *

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Bestimme für .
  2. Was ist die kleinste Zahl mit
  3. Was ist die kleinste Zahl mit


Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl bezeiche die Anzahl der positiven Teiler von . Zeige die folgenden Aussagen über .

a) Sei die Primfaktorzerlegung von . Dann ist

b) Für teilerfremde Zahlen und gilt .

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von .


Aufgabe

Finde unter den Zahlen diejenigen Zahlen mit der maximalen Anzahl an Teilern. Wie groß ist diese Anzahl?


Aufgabe *

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.


Aufgabe *

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Aufgabe

Es seien . Zeige, dass

genau dann gilt, wenn

ist oder wenn und ist (oder umgekehrt).


Aufgabe

Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.


Aufgabe *

Beweise das folgende Untergruppenkriterium.Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und es seien und Untergruppen von . Zeige, dass der Durchschnitt

ebenfalls eine Untergruppe von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl. Zeige, dass den Binomialkoeffizienten für alle teilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.


Aufgabe (6 Punkte)

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.



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