Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}589$ und ${}837$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung

${}\operatorname {GgT} (a,b,c)={\operatorname {GgT} \,\left({\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)},c\right)}\,.$

Aufgabe *

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}116901$ und ${}138689$.

Gurru springt 8 Meter

Aufgabe

Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways (${}0$ Meter). Gurru legt bei jedem Sprung ${}8$ Meter zurück, Gurinu nur ${}6$ Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}n$ und ${}n+1$.

Aufgabe *

Es seien ${}a,m,n$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq 1$.

1. Bestimme ${}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})$.
2. Bestimme ${}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})$.

Aufgabe *

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite ${}255$ und ${}561$ (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite ${}357$ und ${}595$ machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

Aufgabe *

Es sei ${}n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im ${}n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob ${}n$ eine Primzahl ist.

Aufgabe

Es sei ${}k\geq 2$ eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald ${}k$ ein Produkt ${}ab$ teilt, teilt ${}k$ bereits einen Faktor. Zeige, dass ${}k$ eine Primzahl ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige durch Induktion nach ${}n$, dass wenn ${}p$ ein Produkt von ${}n$ Zahlen teilt, dass ${}p$ dann schon eine der Zahlen teilt.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen, deren Produkt ${}ab$ von einer natürlichen Zahl ${}n$ geteilt werde. Die Zahlen ${}n$ und ${}a$ seien teilerfremd. Zeige, dass ${}b$ von ${}n$ geteilt wird.

Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ${}n$ ist negativ.
2. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}8$, aber nicht von ${}-16$.
3. ${}n$ ist kein Vielfaches von ${}36$.
4. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}150$, aber nicht von ${}125$.
5. In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${}5$ ist.

Was ist ${}n$?

Aufgabe *

Bestimme den Exponenten zu ${}2$ von ${}203264$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

$\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto \nu _{p}(n),$

der zugehörige ${}p$- Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Zahl ${}p^{\nu _{p}(n)}$ ist die größte Potenz von ${}p$, die ${}n$ teilt.
2. Es ist

   ${}\nu _{p}(m\cdot n)=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n)\,.$

3. Es ist

   ${}\nu _{p}(m+n)=\operatorname {min} (\nu _{p}(m),\nu _{p}(n))\,$

   (es sei ${}m+n\neq 0$ vorausgesetzt).

Aufgabe *

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Aufgabe *

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

a) Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5$.

b) Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

${}a_{n}=a_{n+1}\,?$

c) Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$

Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeiche ${}T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von ${}n$. Zeige die folgenden Aussagen über ${}T(n)$.

a) Es sei ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann ist

${}T(n)=(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)\,.$

b) Für teilerfremde Zahlen ${}n$ und ${}m$ gilt ${}T(nm)=T(n)T(m)$.

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von ${}20!$.

Aufgabe

Finde unter den Zahlen ${}\leq 100$ diejenigen Zahlen mit der maximalen Anzahl an Teilern. Wie groß ist diese Anzahl?

Aufgabe *

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Aufgabe *

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und ${}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und ${}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass

${}a^{b}=b^{a}\,$

genau dann gilt, wenn

${}a=b\,$

ist oder wenn ${}a=2$ und ${}b=4$ ist (oder umgekehrt).

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen, also ${}M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man ${}441$ innerhalb von ${}M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in ${}M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${}H\subseteq G$ einer Gruppe ${}G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

${\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und es seien ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ Untergruppen von ${}G$. Zeige, dass der Durchschnitt

$H_{1}\cap H_{2}$

ebenfalls eine Untergruppe von ${}G$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}3277$ und ${}10057$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass ${}p$ den Binomialkoeffizienten ${}{\binom {p}{k}}$ für alle ${}k=1,\ldots ,p-1$ teilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a$, ${}b$ und ${}r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ${}a^{r}{|}b^{r}$ die Teilbarkeit ${}a{|}b$ impliziert.

Aufgabe (6 Punkte)

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.