Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex

\setcounter{section}{28}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Bruch
\mathl{{ \frac{ a }{ p } }}{} mit einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ derart, dass bei der \definitionsverweis {schriftlichen Division}{}{} eine Periodenlänge $\ell$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 }
{ \leq }{ \ell }
{ < }{p-1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auftritt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Führe den \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{1:p}{} für jede \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p<20$ durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe die schriftlichen Divisionen
\mathdisp {1:7,\, 2:7,\, 3:7,\, 4:7,\, 5:7,\, 6:7} { }
durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe den \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{5: 7}{} und zu
\mathl{15:21}{} durch. Notiere die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ derart, dass sich beim \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{1:p}{} eine von $0$ verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne $1$ durch $37$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne $1$ durch $41$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne $1$ durch $101$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Zeige durch Induktion nach $i$, dass man die Restfolgenglieder
\mathl{r_{-i}}{} im \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} direkt durch die Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 10^{i} a }
{ =} { xb +r_{-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erhalten kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $b$ eine zu $10$ \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} positive Zahl. Zeige, dass die Periodenlänge $\ell$ beim \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{1:b}{} gleich der kleinsten positiven Zahl $k$ ist, für die $10^k$ bei der Division durch $b$ den Rest $1$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind $150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? \zusatzklammer {Rechne mit Monat = $30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} und $b$ sei teilerfremd zu $10$. Zeige, dass dann sämtliche Reste $r_{-i}$ im \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{a:b}{} teilerfremd zu $b$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{2:13}{} die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe die schriftliche Division
\mathdisp {53,4 : 0,07} { }
durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe im $3$-er System den \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{121:102}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe im $5$-er System den \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{1:3}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe im $7$-er System den \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{6563203 :1000}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck
\mathdisp {0,101001000100001 ...} { }
\zusatzklammer {die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der erkennbaren Regelmäßigkeit unendlich weiter fortgesetzt werden} {} {} zuordnen? Gibt es dafür eine Interpretation als rationale Zahl, als reelle Zahl, als Folge?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wo tritt in der Mathematik \zusatzklammer {und in anderen Gebieten} {} {} Periodizität auf? Sind die Periodizitäten dabei \anfuehrung{diskret}{} oder \anfuehrung{kontinuierlich}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien die
\mathbed {z_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,} die im \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} zu
\mathl{a:b}{} berechneten Ziffern. Ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{-i} }
{ =} { { \left( \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{n-i} \right) } 10^{-n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stets die beste Approximation von
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{} unter allen ganzzahligen Vielfachen von
\mathl{10^{-n}}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b}{} natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien
\mathbed {z_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,} und
\mathbed {r_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,} die im \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{} berechneten Folgen. Zeige durch Induktion nach $n$, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} { b { \left( \sum_{i = 0 }^n z_{-i} 10^{-i} \right) } + r_{-n} 10^{-n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge der Stammbrüche
\mathbed {{ \frac{ 1 }{ n } }} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,} gegen $0$ \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} {x^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$ mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {z_{-i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,} die Ziffernfolge, die sich beim \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{a:b}{} ergibt. Wann ist diese \definitionsverweis {konvergent}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{.} Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn es für jedes
\mathl{k \in \N_+}{} ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ k } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in einem angeordneten Körper gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} durch Umwandlung der Quantoren.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne $1$ durch $271$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Führe die schriftliche Division
\mathdisp {162,017 : 0,23} { }
durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Führe im $3$-er System den \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{2012:112}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n^2}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Folge
\mathbed {(-1)^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}