Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den prozentualen Damen- und Herrenanteil in der Vorlesung Grundkurs Mathematik am 5. Februar 2019.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Ein Kuchen wurde in zwölf gleich große Stücke unterteilt, von denen bereits $7$ gegessen wurden. Wie viel Prozent des Kuchens sind noch da?

Aufgabe

1. Wie viel Prozent sind $1000$?
2. Wie viel sind $1000\mathrm{\%}$?
3. Berechne

   $\frac{7\mathrm{\%}}{4{}^0/{}_{00}}-\frac{5{}^0/{}_{00}}{11\mathrm{\%}}.$

Aufgabe

Drücke die Stammbrüche bis $\frac{1}{20}$ in gerundeten Promille aus.

Aufgabe

Bei einer Befragung nach der Lieblingseissorte stellt sich heraus, dass jeweils ein Drittel der Befragten für Erdbeereis, für Himbeereis und für Zitroneneis plädiert. In Prozent sind es also jeweils $33$. Wo ist das Prozent  $100\mathrm{\%}-3\cdot 33\mathrm{\%}=1\mathrm{\%}$  geblieben?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein gibt $20\mathrm{\%}$ ihres Taschengeldes für Süßigkeiten aus, davon wiederum $40\mathrm{\%}$ für Eis. Wie viel Prozent ihres Taschengeldes gibt sie für Eis aus?

Aufgabe

Die engagierte Software-Entwicklerin Betti van Deyk verbucht folgende Lohnsteigerungen in ihren ersten drei Berufsjahren: $+10\mathrm{\%}$ nach einem Jahr, $+8\mathrm{\%}$ nach dem zweiten Jahr, $+15\mathrm{\%}$ nach dem dritten Jahr. Wie verhält sich prozentual ihr Gehalt nach drei Jahren zu ihrem Anfangsgehalt?

Aufgabe *

Zwei Händler spekulieren mit dem gleichen Kapitaleinsatz an der Börse. Händler $A$ macht in der ersten Woche ein Prozent Gewinn und in der zweiten Woche ein Prozent Verlust, dagegen macht Händler $B$ in der ersten Woche ein Prozent Verlust und in der zweiten Woche ein Prozent Gewinn. Wie sieht ihre Geschäftsbilanz in den zwei Wochen aus, und wer steht nach zwei Wochen besser da?

Aufgabe *

Bauer Ernst erntet $100$ Kilogramm Wassermelonen, die zu $99$ Prozent aus Wasser bestehen. Er lässt sie eine Woche lang in der Sonne liegen, wodurch sie etwas austrocknen und sich ihr Wasseranteil auf $98$ Prozent reduziert, die festen Bestandteile ändern sich nicht. Wie viel wiegen die Melonen jetzt?

Aufgabe *

Karl trinkt eine Flasche Bier ($\mathrm{0,5}$ Liter) mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?

Aufgabe *

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und $1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Aufgabe

Auf eine Ware ist beim Verkauf eine Mehrwertsteuer von $19\mathrm{\%}$ vom Grundpreis zu entrichten, die im Verkaufspreis Niederschlag findet. Wie viel Prozent vom Verkaufspreis ist das?

Aufgabe

Bei einer Wahl ist der Anteil der Nichtwähler gleich $20\mathrm{\%}$ und der Anteil der ungültigen Stimmen (bezogen auf alle abgegebenen Stimmen) gleich $2\mathrm{\%}$. Die Partei „Soziale Alternative für Rentner“ enthält $5\mathrm{\%}$ der gültigen Stimmen. Wie viel Prozent der Bevölkerung haben diese Partei gewählt?

Aufgabe

Bei einer Wahl werden $51076953$ Stimmen abgegeben. Die Partei $A$ bekommt $19584022$ Stimmen, die Partei $B$ bekommt $17354313$ Stimmen, die Partei $C$ bekommt $6274560$ Stimmen, die Partei $D$ bekommt $4103045$ Stimmen. Alle anderen Partein bekommen weniger als $1000000$ Stimmen.

1. Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien?
2. Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien von den gültigen Stimmen?
3. Es gilt die $5\mathrm{\%}$-Hürde. Wie viel Prozent der Sitze im Parlament bekommen die Parteien?
4. Es gibt $510$ Sitze. Wie verteilen sich diese auf die Parteien?

Aufgabe

Eine Partei verliert bei einer Wahl gegenüber der letzten Wahl $3$ Prozentpunkte. Damals hatte sie einen Stimmenanteil von $15\mathrm{\%}$. Wie viel hat sie prozentual verloren?

Aufgabe

Der Lohnabschluss bei Tarifverhandlungen sieht vor: Jeder Arbeitnehmer bekommt einen jährlichen pauschalen Zuschlag von $600$ Euro und einen prozentualen Zuwachs von $2,3\mathrm{\%}$. Berechne die prozentualen Zuwächse für die folgenden Lohngruppen (Monatliches Gehalt vor dem Tarifabschluss).

Lohngruppe	$A$	$B$	$C$	$D$
Gehalt	$1950$	$2300$	$2768$	$3010$

Aufgabe

Die Software-Entwicklerin Betti van Deyk verdient $70000$ Euro pro Jahr. Wie viel Steuer müsste sie prozentual gemäß der abgebildeten Steuermodelle zahlen? Wie viel Steuer müsste sie je nach Modell für den $70000.$ verdienten Euro zahlen, wie viel für den $30000.$ verdienten Euro?

Aufgabe

Eine Sendung erzielt mit durchschnittlich $2200000$ Zuschauern einen Marktanteil von $18\mathrm{\%}$. Welchen Marktanteil erzielt eine gleichzeitig laufende Sendung mit $1500000$ Zuschauern?

Aufgabe

Auf einer Party sind $80\mathrm{\%}$ der anwesenden Frauen sympathisch und $70\mathrm{\%}$ der anwesenden Männer sympathisch. Was kann man über den Prozentsatz der sympathischen Menschen auf der Party sagen?

Aufgabe

Wir betrachten die Quotienten ${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2$ für $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Zeige, dass es zu jedem $ϵ>0$ ein $m\in \mathbb{N}$ derart gibt, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2\le 1+ϵ$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $b\in K_{+}$ mit der zugehörigen Exponentialfunktion

$\phi ={\phi }_b:\mathbb{Z}⟶K,n⟼b^n,$

und es sei $\psi$ die Exponentialfunktion zur Basis $b^{-1}$. Zeige, dass die beiden Funktionsgraphen zu $\phi$ und zu $\psi$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.

Aufgabe

Eine Population wachse pro Jahr um $0,1$ Prozent. Man gebe unter Verwendung von Lemma 25.6 (bzw. der Bernoulli-Ungleichung) eine Jahreszahl $n$ mit der Eigenschaft an, dass sich die Population in diesem Zeitraum mindestens verdoppelt. Gibt es bessere Methoden, ein solches $n$ zu finden?

Aufgabe

Bestimme ein $m\in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

${(1,1)}^n\ge n$

gilt.

Aufgabe

Bestimme ein $m\in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

$2^n\ge n^2$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Jetzt ist es $17$ Uhr $25$. Wie viel Prozent des Tages stehen noch bevor?

Aufgabe (2 Punkte)

Eine Partei gewinnt bei einer Wahl gegenüber den letzten Wahlen $5$ Prozentpunkte dazu. Jetzt hat sie einen Stimmenanteil von $25\mathrm{\%}$. Wie viel hat sie prozentual zugelegt?

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme ein $m\in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

${(1,05)}^n\ge n$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme ein $m\in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft, dass für alle  $n\ge m$  die Abschätzung

${(1,1)}^n\ge n^2$

gilt.