Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Finde einen Bruch ${}{\frac {a}{p}}$ mit einer Primzahl ${}p$ derart, dass bei der schriftlichen Division eine Periodenlänge ${}\ell$ mit ${}2\leq \ell <p-1$ auftritt.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Führe den Divisionsalgorithmus zu ${}1:p$ für jede Primzahl ${}p<20$ durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten?

Aufgabe

Führe die schriftlichen Divisionen

$1:7,\,2:7,\,3:7,\,4:7,\,5:7,\,6:7$

durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?

Aufgabe

Führe den Divisionsalgorithmus zu ${}5:7$ und zu ${}15:21$ durch. Notiere die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf?

Aufgabe

Finde eine Primzahl ${}p$ derart, dass sich beim Divisionsalgorithmus zu ${}1:p$ eine von ${}0$ verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist.

Aufgabe

Berechne ${}1$ durch ${}37$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe *

Berechne ${}1$ durch ${}41$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe

Berechne ${}1$ durch ${}101$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe *

Es sei ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv. Zeige durch Induktion nach ${}i$, dass man die Restfolgenglieder ${}r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

${}10^{i}a=xb+r_{-i}\,$

erhalten kann.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine zu ${}10$ teilerfremde positive Zahl. Zeige, dass die Periodenlänge ${}\ell$ beim Divisionsalgorithmus zu ${}1:b$ gleich der kleinsten positiven Zahl ${}k$ ist, für die ${}10^{k}$ bei der Division durch ${}b$ den Rest ${}1$ besitzt.

Aufgabe *

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind ${}150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = ${}30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).

Aufgabe

Die natürlichen Zahlen ${}a,b$ seien teilerfremd und ${}b$ sei teilerfremd zu ${}10$. Zeige, dass dann sämtliche Reste ${}r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus zu ${}a:b$ teilerfremd zu ${}b$ sind.

Aufgabe

Berechne mit dem Divisionsalgorithmus zu ${}2:13$ die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge.

Aufgabe *

Führe die schriftliche Division

$53,4:0,07$

durch.

Aufgabe

Führe im ${}3$-er System den Divisionsalgorithmus ${}121:102$ aus.

Aufgabe

Führe im ${}5$-er System den Divisionsalgorithmus ${}1:3$ aus.

Aufgabe

Führe im ${}7$-er System den Divisionsalgorithmus ${}6563203:1000$ aus.

Aufgabe

Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck

$0,101001000100001...$

(die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der erkennbaren Regelmäßigkeit unendlich weiter fortgesetzt werden) zuordnen? Gibt es dafür eine Interpretation als rationale Zahl, als reelle Zahl, als Folge?

Aufgabe

Wo tritt in der Mathematik (und in anderen Gebieten) Periodizität auf? Sind die Periodizitäten dabei „diskret“ oder „kontinuierlich“?

Aufgabe

Es seien die ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus zu ${}a:b$ berechneten Ziffern. Ist

${}\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}\,$

stets die beste Approximation von ${}{\frac {a}{b}}$ unter allen ganzzahligen Vielfachen von ${}10^{-n}$?

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Zeige durch Induktion nach ${}n$, dass

${}a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge der Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, gegen ${}0$ (in ${}\mathbb {Q}$) konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}\vert {x}\vert <1$. Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=x^{n}\,$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$.

Aufgabe

Es sei ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die Ziffernfolge, die sich beim Divisionsalgorithmus ${}a:b$ ergibt. Wann ist diese konvergent?

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.

Aufgabe *

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in einem angeordneten Körper gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne ${}1$ durch ${}271$ mit dem Divisionsalgorithmus.

Aufgabe * (1 Punkt)

Führe die schriftliche Division

$162,017:0,23$

durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe im ${}3$-er System den Divisionsalgorithmus ${}2012:112$ aus.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n^{2}}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Folge ${}(-1)^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper nicht konvergiert.