Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 37/latex

\setcounter{section}{37}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Analysiere aussagenlogisch die Gleichung \anfuehrung{Wild + Pinkeln=Hausverbot}{} am Zaun des Terrassenfestes 2017.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finden Sie in Ihrem Alltagsleben möglichst viele Relationen.

}
{(Suchen Sie auch in Ihrem (Zweit-)Studienfach.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $S$ die Menge der Städte und $A$ die Menge der Autobahnen und $L \subseteq S \times A$ die in Beispiel 37.3 beschriebene \definitionsverweis {Relation}{}{.}

Beschreibe formal die Menge $T$ derjenigen Städte, die an mindestens einer Autobahn liegen.

Beschreibe formal die Menge $U$ derjenigen Städte, die an mindestens zwei Autobahnen liegen.

Interpretiere die Aussage
\mathdisp {\forall s_1 \forall s_2 \exists a(s_1 L a \wedge s_2 L a)} { , }
wobei $s_1$ und $s_2$ aus $T$ seien. Ist die Aussage wahr?

Formuliere formal die Aussage, dass zwei Städte stets durch maximal zwei Autobahnen miteinander verbunden sind \zusatzklammer {man darf annehmen, dass jedes Autobahnkreuz an mindestens einer Stadt liegt} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beim Speeddating treffen sich $n$ Frauen und $n$ Männer und jede Frau plaudert mit jedem Mann fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Frau auf einen Zettel, welche Männer sie wiedersehen möchte, und ebenso schreibt jeder Mann auf einen Zettel, welche Frauen er wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. Beschreibe diese Situation mit Relationen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten zu der Flussmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {\{ \text{Rhein}, \text{Weser}, \text{Donau}, \text{Tiber}, \text{Themse}, \text{Nil} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und zu der Ländermenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {\{ \text{Deutschland}, \text{Niederlande}, \text{Schweiz}, \text{Frankreich}, \text{Italien}, \text{Österreich}, \text{Ungarn}, \text{Uganda} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Relation}{}{} \anfuehrung{fließt durch dieses Land}{.} \aufzaehlungsieben{Beschreibe diese Relation durch eine Tabelle. }{Beschreibe diese Relation durch ein Verbindungsdiagramm. }{Beschreibe diese Relation durch Auflistung der zugehörigen Paare. }{Bestimme die Faser zum Rhein bezüglich dieser Relation. }{Bestimme die Faser zur Donau bezüglich dieser Relation. }{Bestimme die Faser zu Deutschland bezüglich dieser Relation. }{Untersuche die Begriffe Links- und Rechtseindeutigkeit, Links- und Rechtsvollständigkeit für diese Relation. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten in $\Q^2$ die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{(0,1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{(2,3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{(6,7) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} + \Q \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die $x$-Achse, die $y$-Achse und die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-4x+3y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Gerade $H$. Beschreibe die zugehörige Inzidenzrelation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Tabelle für die \definitionsverweis {Inzidenzrelation}{}{} zu einer $0,1,2$ und $3$-elementigen Menge.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Bestimme die Anzahl der Elemente in der \definitionsverweis {Inzidenzrelation}{}{} zu $M$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe, wie sich die Eigenschaften \definitionsverweis {reflexiv}{}{,} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} und \definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$ in der Relationstabelle zu $R$ widerspiegeln.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Ländermenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {\{ \text{Deutschland}, \text{Niederlande}, \text{Belgien}, \text{Schweiz}, \text{Frankreich}, \text{Italien}, \text{Österreich}, \text{Spanien}, \text{Portugal}, \text{Polen}, \text{Ungarn} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die \definitionsverweis {Relation}{}{} \anfuehrung{besitzt eine gemeinsame Grenze mit}{.} \aufzaehlungvier{Untersuche diese Relation in Hinblick auf die Begriffe reflexiv, (anti-)symmetrisch, transitiv. }{Bestimme die Faser zu Deutschland in dieser Relation. }{Bestimme die Faser zu Frankreich in dieser Relation. }{Stelle die Relation durch ein Verbindungsdiagramm dar. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir studieren die Relation \anfuehrung{kann gut leiden}{} in verschiedenen Dreier-WGs, die wir durch Relationstabellen ausdrücken, wobei in der Leitspalte das grammatische Subjekt steht. Untersuche die einzelnen Relationen hinsichtlich der Eigenschaften reflexiv, transitiv (anti-)symmetrisch. \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Andrea} {Bernd} {Heinz} }
{\zeileundvier {Andrea} {x} {} {} }
{\zeileundvier {Bernd} {} {x} {} }
{\zeileundvier {Heinz} {} {} {x} } \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Anja} {Ben} {Horst} }
{\zeileundvier {Anja} {x} {x} {x} }
{\zeileundvier {Ben} {x} {x} {x} }
{\zeileundvier {Horst} {x} {x} {x} } \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Hinz} {Kunz} {Schlonz} }
{\zeileundvier {Hinz} {x} {x} {x} }
{\zeileundvier {Kunz} {} {x} {} }
{\zeileundvier {Schlonz} {x} {x} {x} } \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Hänsel} {Gretel} {Hexe} }
{\zeileundvier {Hänsel} {x} {x} {} }
{\zeileundvier {Gretel} {x} {x} {} }
{\zeileundvier {Hexe} {} {} {x} } \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Oma} {Wolf} {Rotkäppchen} }
{\zeileundvier {Oma} {x} {} {x} }
{\zeileundvier {Wolf} {} {x} {} }
{\zeileundvier {Rotkäppchen} {x} {} {x} } \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Jan} {Jens} {Jennifer} }
{\zeileundvier {Jan} {} {} {} }
{\zeileundvier {Jens} {} {} {} }
{\zeileundvier {Jennifer} {} {} {} } \tabelleviervier {\zeileundvier {} {Hase} {Fuchs} {Igel} }
{\zeileundvier {Hase} {} {x} {} }
{\zeileundvier {Fuchs} {} {} {x} }
{\zeileundvier {Igel} {x} {} {} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3-simplex graph.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 3-simplex graph.svg } {} {Koko90} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit $4$ Ecken ist jede Ecke mit jeder \zusatzklammer {anderen} {} {} Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von $A$ über $B$ durch einen Pfeil von $A$ nach $B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff\zusatzfussnote {Mit \stichwort {Isomorphie} {} meint man in der Mathematik, dass die mathematische Struktur übereinstimmt. In diesem Beispiel sollten also die Pfeildiagramme der beiden Spielgruppen übereinstimmen, und das heißt, dass man sie zur Übereinstimmung bringen kann, indem man passende Mannschaften aufeinander bezieht.} {} {} für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M$ und $N$ Mengen. Zeige, dass man jede Relation zwischen \mathkor {} {M} {und} {N} {} als eine Relation auf der Menge
\mathl{M \uplus N}{} auffassen kann. Welche Relationen auf
\mathl{M \uplus N}{} treten in dieser Weise auf?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeigen Sie, dass für \definitionsverweis {Relationen}{}{} die Konzepte Reflexivität, Symmetrie und Transitivität voneinander unabhängig sind \zusatzklammer {das heißt, dass zwei der Eigenschaften gelten können, ohne dass die dritte gelten muss} {} {}.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{a,b\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig \zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {} die Relation auf der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und $P$ die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} von $M$. Betrachte die Relation $T$ auf $P$, die durch
\mathdisp {T(A,B) \text{ genau dann, wenn } A \subseteq B} { }
gegeben ist \zusatzklammer {dabei sind also \mathkor {} {A} {und} {B} {} Teilmengen von $M$} {} {.} Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn $M$ $n$ Elemente besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und $P$ die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} von $M$. Betrachte die Relation $D$ auf $P$, die durch
\mathdisp {D(A,B) \text{ genau dann, wenn } A \cap B = \emptyset} { }
gegeben ist \zusatzklammer {dabei sind also \mathkor {} {A} {und} {B} {} Teilmengen von $M$} {} {.} Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn $M$ $n$ Elemente besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Jedes Paket hat einen eindeutig bestimmten Absender und Empfänger. Modelliere diesen Sachverhalt mit \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} bzw. \definitionsverweis {Relationen}{}{.} Welche Pfeildiagramme sind sinnvoll, um die Situation zu beschreiben?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ M \times N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Relation}{}{} zwischen \mathkor {} {M} {und} {N} {.} Zeige, dass man eine Relation $S$ zwischen \mathkor {} {N} {und} {M} {} erhält, indem man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { { \left\{ (y,x) \mid (x,y) \in R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} setzt. Sie heißt die \stichwort {Umkehrrelation} {} zu $R$. Zeige ferner, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Relation $R$ genau dann symmetrisch ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beim neutralgeschlechtlichen Speeddating treffen sich $n$ Personen, und jede Person plaudert mit jeder von ihr verschiedenen Person fünf Minuten lang. Danach schreibt jede Person auf einen Zettel, welche Personen sie wiedersehen möchte. Die Moderatorin sammelt die Zettel ein und erstellt daraus eine Liste von Paaren, bei denen sich beide wiedersehen wollen. \aufzaehlungzwei {Beschreibe diese Situation mit einer Relation und einer Umkehrrelation. } {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{6 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeichne ein Diagramm mit sechs Punkten und verschiedenfarbigen Verbindungsstrecken zwischen den Punkten, das beschreibt, in welcher Reihenfolge die Personen miteinander plaudern \zusatzklammer {die erste Farbe soll die Gesprächspartner der ersten Runde angeben u.s.w.} {} {.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und $\mathfrak {P} \, (M )$ die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} davon. Zeige, dass durch
\mathdisp {S \preccurlyeq T, \text{wenn es eine injektive Abbildung } S \rightarrow T \text{ gibt}} { , }
eine \definitionsverweis {reflexive}{}{} und \definitionsverweis {transitive}{}{} \definitionsverweis {Relation}{}{} auf $\mathfrak {P} \, (M )$ definiert wird, die in aller Regel weder \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} noch \definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Wohngemeinschaft wohnen Albert, Beowulf, Clara, Dora, Emil und Gundula. Dabei können Albert und Beowulf kochen, die anderen vier nicht. Emil findet Beowulf doof, Dora findet Albert und Clara doof, Clara und Gundula finden beide ebenfalls den Albert doof. Charakterisiere jede Person durch einen sprachlichen Ausdruck, in dem nur auf die Kochfähigkeit und das Dooffinden Bezug genommen wird  \zusatzklammer {insbesondere dürfen in den Charakterisierungen keine Namen vorkommen} {} {}.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Biclique K 3 3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Biclique K 3 3.svg } {} {Koko90} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Beim Speeddating nehmen Anna, Berta, Clara, Dora und Elfriede und Richard, Stefan, Thomas, Uwe und Volkmar teil. Auf den Wiedersehwunschlisten schreibt Anna die Namen Richard und Thomas auf, Berta schreibt Richard und Volkmar auf, Clara schreibt alle Namen außer Uwe auf, Dora schreibt Stefan auf und Elfriede schreibt Stefan, Uwe und Volkmar auf. Richard und Thomas schreiben alle Namen auf, Stefan schreibt Dora auf, Uwe schreibt Anna, Berta und Clara auf und Volkmar gibt einen leeren Zettel ab. \aufzaehlungsieben{Stelle die Frauenwunschrelation\zusatzfussnote {Das ist diejenige Relation, die durch die Wünsche der Frauen festgelegt ist} {.} {} durch eine Tabelle dar. }{Stelle die Männerwunschrelation durch ein Verbindungsdiagramm dar. }{Was ist die Faser zu Stefan unter der Frauenwunschrelation? }{Was ist die Faser zu Volkmar unter der Männerwunschrelation? }{Was ist die Faser zu Berta unter der Männerwunschrelation? }{Diskutiere die Begriffe Links- und Rechtseindeutigkeit, Links- und Rechtsvollständigkeit für die beiden Wunschrelationen. }{Beschreibe die resultierende Wiedersehensrelation. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{a,b,c\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine dreielementige Menge. Beschreibe vollständig \zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {} die Relation auf der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabb {\varphi} {K^m} {K^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} der Abbildung ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{K^m \times K^n}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Klassifiziere \zusatzklammer {bis auf Isomorphie} {} {} die möglichen Gewinnstrukturen bei einer Vierergruppe \zusatzklammer {wie bei einer Fußballweltmeisterschaft} {} {.}

}
{} {(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.)}