Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 36

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine -Matrix derart, dass es -Matrizen mit und mit gibt. Zeige und dass invertierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Matrix weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.


Aufgabe

Es seien und invertierbare -Matrizen. Zeige, dass auch invertierbar ist, und dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.


Aufgabe *

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige, dass dann auch

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().


Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.


Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

als Matrizenprodukt schreiben kann, wobei und Diagonalmatrizen sind und eine Scherungsmatrix der Form ist.


Aufgabe

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Führe für die Matrix

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.


Aufgabe *

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe *

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Aufgabe

Löse die linearen Gleichungssysteme

simultan.


Aufgabe

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn es eine -Matrix mit gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.



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