Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 38/latex

\setcounter{section}{38}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf der Menge der quadratischen $n \times n$-Matrizen, bei der Matrizen $M$ und $N$ als äquivalent angesehen werden, wenn es \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} $E_1 , \ldots , E_k$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{p}{} und
\mathl{q}{} zwei nichtäquivalente Aussagen. Welche der folgenden zusammengesetzten Aussagen sind zueinander äquivalent, welche nicht?
\mathdisp {p,\, q,\, p \wedge q,\, p \vee q,\, p \rightarrow q,\, p \rightarrow (q \rightarrow p),\, \neg p \vee q ,\, p \vee \neg p} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die zweielementige Menge
\mathl{M=\{a,b\}}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme alle \definitionsverweis {Relationen}{}{} auf $M$. }{Welche dieser Relationen sind \definitionsverweis {symmetrisch}{}{,} \definitionsverweis {reflexiv}{}{,} \definitionsverweis {transitiv}{}{?} }{Bei welchen Relationen handelt es sich um \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{?} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und sei \maabb {f} {M} {N } {} eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \sim} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die folgende Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 5 \text{ teilt } x-y} { . }
Welche Zahlen sind bei dieser Relation äquivalent zueinander?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ModernChartresStyleLabyrinth.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { ModernChartresStyleLabyrinth.svg } {} {} {Commons} {} {}

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung \zusatzklammer {also ohne Sprünge} {} {} von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M=\Z \times \Z}{.} Wir fixieren wie in Beispiel 38.14 die Sprünge
\mathdisp {\pm (2,0) \text{ und } \pm (3,3)} { , }
und sagen, dass zwei Punkte
\mathl{P=(a,b),\, Q=(c,d) \in M}{} äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Punkte
\mathl{P=(4,-3)}{} und
\mathl{P=(3,6)}{} zueinander äquivalent sind. } {Zeige, dass die Punkte
\mathl{P=(4,-3)}{} und
\mathl{P=(3,7)}{} nicht zueinander äquivalent sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Äquatorflöhe leben auf den vollen Metern eines $40 000$ Kilometer langen kreisrunden Bandes. Sie verfügen nur über einen Sprung, der sie sieben Meter nach vorne oder nach hinten bringt \zusatzklammer {und der beliebig oft wiederholt werden kann} {} {.} Können sich alle Flöhe begegnen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die rationalen Zahlen
\mathdisp {{ \frac{ 7 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } , \, 3, \, { \frac{ 5 }{ 2 } }, \, { \frac{ 4 }{ 3 } } , \,4, \, { \frac{ 3 }{ 4 } }, \, { \frac{ 1 }{ 3 } } , \,{ \frac{ 3 }{ 2 } }, \, { \frac{ 5 }{ 4 } }, \, - { \frac{ 1 }{ 3 } }, \, { \frac{ 4 }{ 5 } }} { . }
\aufzaehlungzwei {Welche dieser Zahlen sind unter der Gaußklammeräquivalenzrelation \zusatzklammer {\anfuehrung{Vorkommaäquivalenzrelation}{,} siehe Beispiel 38.11} {} {} zueinander äquivalent? } {Welche dieser Zahlen sind unter der Bruchanteiläquivalenzrelation \zusatzklammer {\anfuehrung{Nachkommaäquivalenzrelation}{}} {} {} zueinander äquivalent? }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf dem $K^n$, die durch
\mathdisp {v_1 \sim v_2 \text{ genau dann, wenn } v_1 - v_2 \in U} { }
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $n \in \N$. Wir betrachten die folgende Relation auf $\operatorname{Mat}_{ n } (K)$.
\mathdisp {M \sim N, \text{ falls es eine invertierbare Matrix } B \text{ gibt mit } M=BNB^{-1}} { . }
Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} Mengen und $\sim_1$ sei eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M_1$ und $\sim_2$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_2$. Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{} $M_1 \times M_2$, die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ und } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definiert ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf $M_1 \times M_2$ die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ oder } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{(R_i)_{i \in I}}{} eine Familie von \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt
\mathl{R:=\bigcap_{i \in I} R_i}{} wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für
\mathl{\bigcup_{i \in I} R_i}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Wir betrachten für je zwei Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ \defeq} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \sim }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mathl{A \triangle B}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und sei \maabb {f} {M} {N } {} eine Abbildung. Es sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $N$. Zeige, dass durch $x \equiv x'$, falls
\mathl{f(x) \sim f(x')}{} gilt, eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Finde neben den beiden Matrizen
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} vier weitere Matrizen
\mathl{M}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^2 }
{ = }{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}