Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex

\setcounter{section}{43}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme
\mathdisp {[-3, 2] \, \cap \, ] -2, 3 [} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem angeordneten Körper $K$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x } }
{ \leq} { b-a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Schreibe die Menge
\mathdisp {]-3,-2[ \, \cup \, \{7\} \, \cup \, { \left( [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] \right) } \, \cup \, [1, { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 6 }{ 5 } } [ \, \cup \, { \left( \, ]-7,-6] \cap \R_+ \right) }} { }
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {abgeschlossenen Intervallen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $I_1,I_2$ \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_1 \cap I_2 }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Vereinigung
\mathl{I_1 \cup I_2}{} wieder ein Intervall ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} mit den Intervallgrenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es in $I$ eine rationale Zahl gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} mit den Intervallgrenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ < }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es in $I$ unendlich viele rationale Zahlen gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{[a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als ein Intervall.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \notin }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ x\in K \mid x^{-1} \in [a,b] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als ein Intervall.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 4x-3 } }
{ <} { \betrag { 2x-3 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ x-2 }{ 3x-1 } } } }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $7$ zum Startwert $x_0=2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ zum Startwert $x_0=1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert $x_0$. Für ein Folgenglied gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ = }{ \sqrt{c} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich $\sqrt{c}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl
\mathl{c \in K_-}{} \zusatzklammer {mit einem positiven Startwert $x_0$} {} {} berechnen möchte?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert $x_0$ die Quadratwurzel von
\mathl{c \in K_+}{} berechnen möchte?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2 +4 x-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-5) }
{ = }{2 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-4) }
{ = }{ -3 }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Führe, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion $f$ an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 16 } }}{} erreicht ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {K} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a \end{pmatrix} } {,} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a,b \in \Q \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungsechs{Zeige, dass $R$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q)}{} \zusatzklammer {bezüglich der Addition} {} {} ist. }{Zeige, dass $R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist. }{Zeige, dass $R$ die rationalen $\Q$ als Diagonalmatrizen enthält. }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist. }{Zeige, dass $R$ eine Quadratwurzel zu $-1$ enthält. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt[3]{5} + { \frac{ 2 }{ 5 } } { \left( \sqrt[3]{5} \right) }^2 \right) } \cdot { \left( - 4 + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3]{5 }+ { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( \sqrt[3]{5} \right) }^2 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} $K$ enthalte die Wurzeln \mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.} Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[4]{5}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ x \in K_+ \mid \text{Es gibt ein } m \in \N_+ \text{ mit } x^m \in \Q \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{(K_+,1,\cdot)}{} bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf $\Q_+ \times \N_+$ die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p,m) }
{ \sim }{ (q,n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p^n }
{ = }{q^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} { ( \Q_+ \times \N)/\sim }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{.} Zeige, dass auf $Q$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (p,m) ] \cdot [(q,n)] }
{ \defeq} { [ ( p^n q^m, nm) ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist. }{Zeige, dass $Q$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist. }{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} in dem es zu jedem
\mathl{p \in \Q_+}{} und jedes
\mathl{m \in \N_+}{} die Wurzel
\mathl{\sqrt[m]{p}}{} gibt. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {Q} {K_+ } {[(p,m)]} { \sqrt[m]{p} } {,} ein wohldefinierter \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ wieder ein offenes Intervall ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 5x-8 } }
{ <} { \betrag { 11x-6 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $3$ zum Startwert $x_0=2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$ zum Startwert $x_0=1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2 +4x-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{-3 }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{2 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Führe, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion $f$ an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 16 } }}{} erreicht ist.

}
{} {}