Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 43

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige


Aufgabe *

Schreibe die Menge

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.


Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.


Aufgabe

Es seien Intervalle in einem angeordneten Körper mit . Zeige, dass die Vereinigung wieder ein Intervall ist.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und ein Intervall mit den Intervallgrenzen . Zeige, dass es in eine rationale Zahl gibt.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und ein Intervall mit den Intervallgrenzen . Zeige, dass es in unendlich viele rationale Zahlen gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Aufgabe *

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper mit . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)
b)


Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Für ein Folgenglied gelte . Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ist.


Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl (mit einem positiven Startwert ) berechnen möchte?


Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert die Quadratwurzel von berechnen möchte?


Aufgabe

Es sei

Es ist und . Führe, ausgehend vom Intervall , Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

  1. Zeige, dass eine Untergruppe von (bezüglich der Addition) ist.
  2. Zeige, dass unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
  3. Zeige, dass die rationalen als Diagonalmatrizen enthält.
  4. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  5. Zeige, dass ein Körper ist.
  6. Zeige, dass eine Quadratwurzel zu enthält.


Aufgabe *

Berechne


Aufgabe

Berechne


Aufgabe *

Ein angeordneter Körper enthalte die Wurzeln und . Zeige, dass auch enthält.


Aufgabe *

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass

eine Untergruppe von bildet.


Aufgabe

Wir betrachten auf die Relation , falls gilt.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Es sei

    die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf durch

    eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

  3. Zeige, dass eine kommutative Gruppe ist.
  4. Es sei ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem und jedes die Wurzel gibt. Zeige, dass die Zuordnung

    ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper wieder ein offenes Intervall ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Es ist und . Führe, ausgehend vom Intervall , Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.



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