Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme

$[-3,2]\,\cap \,]-2,3[.$

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ und es seien ${}x,y\in [a,b]$. Zeige

${}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$

Aufgabe *

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper ${}K$ wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.

Aufgabe

Es seien ${}I_{1},I_{2}$ Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}I_{1}\cap I_{2}\neq \emptyset$. Zeige, dass die Vereinigung ${}I_{1}\cup I_{2}$ wieder ein Intervall ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen ${}a<b$. Zeige, dass es in ${}I$ eine rationale Zahl gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen ${}a<b$. Zeige, dass es in ${}I$ unendlich viele rationale Zahlen gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}0\notin I$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

${}\vert {4x-3}\vert <\vert {2x-3}\vert \,.$

b)

${}\vert {\frac {x-2}{3x-1}}\vert \leq 1\,.$

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}7$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}{\frac {1}{2}}$ zum Startwert ${}x_{0}=1$.

Aufgabe

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}$. Für ein Folgenglied gelte ${}x_{n}={\sqrt {c}}$. Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ${}{\sqrt {c}}$ ist.

Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl ${}c\in K_{-}$ (mit einem positiven Startwert ${}x_{0}$) berechnen möchte?

Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert ${}x_{0}$ die Quadratwurzel von ${}c\in K_{+}$ berechnen möchte?

Aufgabe

Es sei

${}f(x)=x^{2}+4x-3\,.$

Es ist ${}f(-5)=2>0$ und ${}f(-4)=-3<0$. Führe, ausgehend vom Intervall ${}[-5,-4]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion ${}f$ an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge ${}{\frac {1}{16}}$ erreicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Abbildung

$K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0&\ldots &0&0\\0&a&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&a&0\\0&0&\ldots &0&a\end{pmatrix}},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}R={\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ eine Untergruppe von ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ (bezüglich der Addition) ist.
2. Zeige, dass ${}R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
3. Zeige, dass ${}R$ die rationalen ${}\mathbb {Q}$ als Diagonalmatrizen enthält.
4. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
5. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.
6. Zeige, dass ${}R$ eine Quadratwurzel zu ${}-1$ enthält.

Aufgabe *

Berechne

${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$

Aufgabe

Berechne

${\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-4+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{3}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}.$

Aufgabe *

Ein angeordneter Körper ${}K$ enthalte die Wurzeln ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass ${}K$ auch ${}{\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.

Aufgabe *

Drücke

${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe

Drücke

${\sqrt[{3}]{6}}\cdot {\sqrt[{4}]{5}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass

${}U={\left\{x\in K_{+}\mid {\text{Es gibt ein }}m\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}x^{m}\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

eine Untergruppe von ${}(K_{+},1,\cdot )$ bildet.

Aufgabe

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}(p,m)\sim (q,n)$, falls ${}p^{n}=q^{m}$ gilt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei

   ${}Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,$

   die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf ${}Q$ durch

   ${}[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

3. Zeige, dass ${}Q$ eine kommutative Gruppe ist.
4. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem ${}p\in \mathbb {Q} _{+}$ und jedes ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ die Wurzel ${}{\sqrt[{m}]{p}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung

   $Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},$

   ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper ${}K$ wieder ein offenes Intervall ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.

${}\vert {5x-8}\vert <\vert {11x-6}\vert \,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}3$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}{\frac {1}{3}}$ zum Startwert ${}x_{0}=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{2}+4x-3\,.$

Es ist ${}f(0)=-3<0$ und ${}f(1)=2>0$. Führe, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion ${}f$ an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge ${}{\frac {1}{16}}$ erreicht ist.