Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ Folgen in einem angeordneten Körper $K$, die beide gegen $c\in K$ konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge $x_n-y_n$ eine Nullfolge ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Folge ${\left(\frac{1}{n^k}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem archimedisch angeordneten Körper gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe

Zu  $n\in \mathbb{N}$  sei die rationale Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ folgendermaßen definiert: Es sei

$x_n=\frac{a_n}{10^n}$

die größte Zahl mit  $a_n\in \mathbb{N}$  und mit  $x_n^2\le 5$.  Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.

Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

$x_n=\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}$

in $\mathbb{Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

$x_n=\frac{6n^3+3n^2-4n+5}{7n^3-6n^2-2}$

in $\mathbb{Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.11.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwei konvergente Folgen mit  $x_n\ge y_n$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass dann  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n$  gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei  $I=[a,b]$  ein abgeschlossenes Intervall in $K$. Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$ mit $x_n\in I$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Die Folge konvergiere gegen $x\in K$. Zeige $x\in I$.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ drei Folgen in $K$. Es gelte $x_n\le y_n\le z_n\text{ für alle }n\in \mathbb{N}$ und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper $K$ die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$

gegebene Folge ($n\ge 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Bestimme mithilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge

$x_n:={(1-\frac{1}{n^2})}^n.$

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.22 hilfreich.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln $\sqrt[n]{n}$ zu $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ existieren. Zeige, dass die Folge $x_n=\sqrt[n]{n}$ ab  $n\ge 3$  streng fallend ist.

Aufgabe *

Zu $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge

$x_n=\frac{a_n}{b_n}$

in $\mathbb{Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe *

Es sei

$x_n:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}.$

1. Finde das kleinste $n$ mit

   $x_n\ge 2.$

2. Finde das kleinste $n$ mit

   $x_n\ge \mathrm{2,5}.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $a,b\in K_{+}$. Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{ak+b}$

divergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{k}}$

divergiert.

Aufgabe

Zeige analog zu Beispiel 44.13, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass $K$ genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche $\frac{1}{n},n\ge 1$, gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien  $a<b$  rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

$[0,1]⟶[a,b]$

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien $x,y$ verschiedene Punkte aus $K$. Zeige, dass es Intervalle $I_1$ und $I_2$ mit positiver Länge, mit $x\in I_1$, $y\in I_2$ und mit  $I_1\cap I_2=\mathrm{\varnothing }$  gibt.

Aufgabe *

Es sei $c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert $x_0\in K_{+}$. Es sei $u\in K_{+}$,  $d=c\cdot u^2$,   $y_0=u{x}_0$  und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige

$y_n=u{x}_n$

für alle $n\in \mathbb{N}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

$x^{\prime }=2^{-1}\cdot (x+\frac{c}{x})$

des Heron-Verfahrens in $\mathbb{Z}/(5)$ für  $c=3$.  Zeige, dass für sämtliche Startglieder  $x_0\ne 0$  stets eine nichtkonstante Folge entsteht.

Aufgabe *

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

$x^{\prime }=2^{-1}\cdot (x+\frac{c}{x})$

des Heron-Verfahrens in $\mathbb{Z}/(7)$ für  $c=3$.  Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_n=\frac{7n^3-3n^2+2n-11}{13n^3-5n+4}$

definierten Folge.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem angeordneten Körper $K$ mit $x_n\ne 0$, $n\in \mathbb{N}$, und mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$ derart, dass die Folge

${\left(\frac{y_n}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

1. gegen $0$ konvergiert,
2. gegen $1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die durch

$y_n:=\frac{x_0+x_1+\cdots +x_n}{n+1}$

definierte Folge gegen $x$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left(\frac{n^3}{2^n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}\text{ und }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+2}$

divergieren.