Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 42

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Vergleiche und .




Übungsaufgaben

Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?


Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?


Aufgabe

Erläutere, warum die Schreibweise für die -te Wurzel aus sinnvoll ist.


Aufgabe

Berechne .


Aufgabe

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.


Aufgabe *

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass es in vier Lösungen für die Gleichung

gibt.


Aufgabe

Man konstruiere einen kommutativen Ring , in dem die mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.


Aufgabe

Vergleiche


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und mit . Zeige


Aufgabe

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper mit , wobei keine Quadratzahl sei. Zeige, dass

ein Körper ist.


Aufgabe

Betrachte die Menge

wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.

c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im , die die positiven von den negativen Elementen in trennt.

d) Ist das Element positiv oder negativ?


Aufgabe

Zeige, dass man nicht in der Form

mit schreiben kann.


Zu einem kommutativen Ring bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach .

Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.


Aufgabe

Es sei die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).


Aufgabe

Vergleiche


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente und existieren. Welches ist größer?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es in sechs Lösungen für die Gleichung

gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ganze Zahlen und eine Lösung der Gleichung

Zeige, dass eine ganze Zahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Es seien positive ganze Zahlen. Zeige



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