Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex

\setcounter{section}{48}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {3,601473301 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n }
{ = }{[a_n,b_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n }
{ = }{[c_n,d_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x+y}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}24 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}51 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}24719113 \dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}60421809 \dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0,3 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0,3 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich $5$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}536\,080\,713\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}663\,184\,254\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0,3715 \ldots} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq K}{} heißt ein \definitionswort {Abschnitt}{,} wenn für alle
\mathl{a,b \in T}{} mit
\mathl{a \leq b}{} und jedes
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{a \leq x \leq b}{} auch
\mathl{x \in T}{} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass jedes \definitionsverweis {Intervall}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der unbeschränkten Intervalle} {} {} in $K$ ein \definitionsverweis {Abschnitt}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in $\Q$, der kein Intervall ist.

Zeige, dass in $\R$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitt}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitt}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf $\Q$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf $\Q$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt $\neq 0$ einen inversen Schnitt besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{,} die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf $\Q$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines \definitionsverweis {Dedekindschen Schnittes}{}{} vorkommen, ein Beispiel für ein Paar $(A,B)$ mit
\mathl{A,B \subseteq \Q}{,} das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jeder \definitionsverweis {Dedekindsche Schnitt}{}{} in $K$ ein Punktschnitt ist. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es seien $r,s$ nichtnegative reelle Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r^n }
{ <} {s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( r+ { \frac{ 1 }{ k } } \right) }^n }
{ <} {s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das reelle Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} unendlich viele \definitionsverweis {irrationale Zahlen}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele \definitionsverweis {irrationale Zahlen}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }

\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1000 } }}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } \cdot { \frac{ 1 }{ n^k } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ \leq} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Für die Eulersche Zahl $e$ seien die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,71 }
{ \leq} {e }
{ \leq} {2,72 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bekannt. \aufzaehlungzwei {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^2$ sagen? } {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^{-1}$ sagen? }

}
{} {}

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x } }
{ <} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{k \in \N_{\geq 2}}{} eine fixierte natürliche Zahl und es sei $T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass $T$ in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.7 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3} }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $H$ eine (additive) \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{{\Z} a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu den reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { z_0{,}\overline{ z_{1} \ldots z_{m} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { w_0{,}\overline{ w_{1} \ldots w_{m} } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Zeige, dass die Summe
\mathl{x + y}{} ebenfalls eine \zusatzklammer {nicht unbedingt minimale} {} {} Periode der Länge $m$ besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu den reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Was kann man über die Periodenlänge der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu den reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Was kann man über die Periodenlänge des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {-7, 35831149 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in $\R_+$ abspielt.


\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n }
{ = }{[a_n,b_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n }
{ = }{[c_n,d_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x \cdot y}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {2,1278 \ldots} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}101001000100001000001 \ldots} { }
im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von $1/x$ bis zur vierten Nachkommastelle.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die Ziffernentwicklung von
\mathdisp {0{,}\overline{1} \cdot 0{,}\overline{1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Glieder bis
\mathl{x_5}{} als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10000 } }}{} an.

}
{} {}