- Die Pausenaufgabe
Berechne das Polynom
-
im
Polynomring
.
- Übungsaufgaben
Bestimme für das Polynom
-
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .
Berechne das Produkt
-
im
Polynomring
.
Berechne das Produkt
-
im
Polynomring
.
Beweise die Formel
-
Zeige, dass eine quadratische Gleichung
-
über einem Körper maximal zwei Lösungen besitzt.
Löse die quadratische Gleichung
über .
Löse die quadratische Gleichung
über .
Löse die reelle quadratische Gleichung
durch quadratisches Ergänzen.
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
-
Eine Gleichung der Form
-
heißt biquadratische Gleichung.
Löse die biquadratische Gleichung
über .
Bestimme die Lösungen der Gleichung
-
über .
Eliminiere in der kubischen Gleichung
-
den quadratischen Term.
Forme die Gleichung
-
in eine äquivalente Gleichung der Form
-
mit um.
Forme die Gleichung
-
in eine äquivalente Gleichung der Form
-
mit um.
Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.
Es sei ein
Körper
und sei
-
die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch
,
falls es ein mit
-
gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
Äquivalenzrelation
handelt.
Es sei ein
Körper
und sei
-
die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch
,
falls es ein mit
-
für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
Äquivalenzrelation
handelt.
Es sei ein
Körper
und sei
-
die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch
,
falls es ein mit
-
für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
Äquivalenzrelation
handelt.
Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper die
Äquivalenzrelation
aus
Aufgabe 49.22.
Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.
Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung
-
gegeben ist und wenn Zahlen sind mit
-
und
-
so sind
und
die Lösungen der Gleichung.
Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
-
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
-
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
Es sei . Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
-
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne das Polynom
-
im
Polynomring
.
Löse die reelle quadratische Gleichung
durch quadratisches Ergänzen.
Löse die quadratische Gleichung
über .
Forme die Gleichung
-
in eine äquivalente Gleichung der Form
-
mit um.
Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
-
mit Hilfe
des Satzes von Vieta.
Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen
(unabhängig vom Polynom)
beschränkt ist.