Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex

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\setcounter{section}{51}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. \aufzaehlungzwei {Negiere \zusatzklammer {durch Umwandlung der Quantoren} {} {} die Eigenschaft, dass $f$ im Punkt $x$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. } {Negiere die Eigenschaft, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, \maabb {f} {D} {\R } {} eine Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$f$ ist \definitionsverweis {stetig}{}{} in $a$. }{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ m } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(a) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt. }{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^r } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(a) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^s } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Melons_-_Fethiye_Market.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Melons_-_Fethiye_Market.jpg } {} {Palosirkka} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte $100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen $99$ und $101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { 2x^3-4x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {2x^3-4x^2+x-6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein explizites
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,a) }
{ \leq} {\delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f(x),f(a) ) }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus einem nichtleeren \definitionsverweis {offenen Intervall}{}{} $]x- \delta, x + \delta[$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a < b < c$ \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} und es seien \maabbdisp {g} {[a,b]} {\R } {} und \maabbdisp {h} {[b,c]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit $g (b) = h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion \maabbdisp {f} {[a,c]} {\R } {} mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $f$ auf jedem Intervall der Form $[0, \delta]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

}
{} {} Ist eine solche Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?} Siehe auch Aufgabe 54.25.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T \subseteq \R$ eine endliche Teilmenge und \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nur im Nullpunkt stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei rekursiv durch
\mathl{x_0=1}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { \sqrt{ x_n+1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.41 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {dichte}{}{} Teilmenge. Zeige, dass eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} durch die Werte auf $T$ eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise direkt die Rechenregeln aus Satz 51.8 \zusatzklammer {ohne Bezug auf das Folgenkriterium} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 2x^7-3 x \betrag { 6x^3-11 } }{ \betrag { 3x-5 } + \betrag { 4x^3-5x+1 } } } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ >} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ >} {g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten auf der Menge $C$ aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$ die folgende Relation: Es ist
\mathl{f \sim g}{,} falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion \maabb {\alpha} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {g \cdot \alpha }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. }{Zeige, dass aus
\mathl{f \sim g}{} folgt, dass die Nullstellenmenge von $f$ und von $g$ übereinstimmen. }{Zeige, dass die beiden Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x) }
{ =} {x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht zueinander äquivalent sind. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^3+5x^2-3x+2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 100 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein explizites
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,a) }
{ \leq} {\delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f(x),f(a) ) }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mathl{x \in \R}{} die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {b_n =2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3} { , }
definierten \definitionsverweis {Folge}{}{,} wobei
\mathdisp {a_n = \frac{3n^3-5n^2+7}{4n^3+2n-1}} { }
ist.

}
{} {}


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