Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 52

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe *

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Aufgabe *

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Aufgabe

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe *

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms ist.


Aufgabe *

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Aufgabe

Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass für der Zwischenwertsatz nicht gilt.


Aufgabe

Es sei ein Dedekindscher Schnitt und sei

durch

definiert. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn eine irrationale Zahl beschreibt.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Es sei

eine bijektive stetige Funktion zwischen den reellen Intervallen und . Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Zeige, dass durch

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe *

  1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
  3. Zeige, dass durch das Polynom eine bijektive Abbildung

    gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe

Es sei ein Polynom vom Grad , . Zeige, dass maximal Fixpunkte besitzt.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion und es gebe mit

und

Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe *

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine streng wachsende stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass das Bild von sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.



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