Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 51

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei eine Funktion.

  1. Negiere (durch Umwandlung der Quantoren) die Eigenschaft, dass im Punkt stetig ist.
  2. Negiere die Eigenschaft, dass stetig ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Teilmenge, eine Funktion und ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist stetig in .
  2. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus

    die Abschätzung

    folgt.

  3. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus

    die Abschätzung

    folgt.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Melons - Fethiye Market.jpg

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen und Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?


Aufgabe *

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe

Bestimme für die Funktion

im Punkt für ein explizites derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.


Aufgabe

Sei eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

derart gibt, dass auf jedem Intervall der Form mit sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion „zeichenbar“? Siehe auch Aufgabe 54.25.

Aufgabe

Es sei eine endliche Teilmenge und

eine Funktion. Zeige, dass stetig ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

für .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Die Folge sei rekursiv durch und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.41 hilfreich.

Aufgabe

Es sei eine dichte Teilmenge. Zeige, dass eine stetige Funktion durch die Werte auf eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Beweise direkt die Rechenregeln aus Satz 51.8 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe *

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe *

Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
  3. Zeige, dass die beiden Funktionen

    und

    nicht zueinander äquivalent sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

im Punkt für ein explizites derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte die durch

definierte Funktion stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.



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