Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex
\setcounter{section}{53}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{1}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ n/m
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^q
}
{ \defeq} { { \left( b^n \right) }^{1/m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 3 }{ 7 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\Q } {\R } {q} {b^q } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {x^q
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der einzige \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {(\Q,+,0)} { (\Q_+,\cdot,1) } {} die konstante Abbildung auf $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {monotone}{}{} Funktion und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass $g$ auf $\Q$ nicht unbedingt mit $f$ übereinstimmen muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {monotone}{}{} Funktion und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass $g$ ebenfalls monoton ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {monotone}{}{} Funktion und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass $g$ auf $\Q$ mit $f$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Vergleiche die beiden Zahlen
\mathdisp {\sqrt{3}^{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } } \text{ und } \sqrt{3}^{- \sqrt{5} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche die drei Zahlen
\mathdisp {2^{\sqrt{3} }, \, 4,\, 3^{\sqrt{2} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {\sqrt{2}^{ \sqrt{3} }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {b^x
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'}
}
{ = }{ b^x \cdot b^{x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'}
}
{ = }{ b^{ x \cdot x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x
}
{ = }{ a^x \cdot b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
$\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y)
}
{ =} { f(x) \cdot f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R_+ } {x} {b^x } {,} aus einem \definitionsverweis {arithmetischen Mittel}{}{} ein \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} macht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert die Gerade durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(x,f(x))} {und} {(x+1,f(x+1))} {}
einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den wir mit
\mathl{s(x)}{} bezeichnen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1)
}
{ =} {s(x) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Skizziere die Situation.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {b^x
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( b^{x} \right) }^{x'}
}
{ =} { b^{x x'}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x,x' \in \R}{} unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Graphen zu den Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_k(x)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ x^k }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n=2,3,4,5, 6}{} auf
\mathl{[-3,3]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Exponentialreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ableitung von $f$ mit $f$ übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R_+
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1)
}
{ = }{ 2f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die von
\mathl{2^x}{} verschieden ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bastle einen \stichwort {Rechenschieber} {,} der die Multiplikation von positiven \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} ausführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{}
$b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } (y \cdot z)
}
{ = }{ \log_{ b } y + \log_{ b } z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\log_{ b } y^u
}
{ = }{u \cdot \log_{ b } y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{u \in \R}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {x^u
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne
\mathdisp {3^{ { \frac{ 4 }{ 5 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Vergleiche
\mathdisp {5^{ - { \frac{ 4 }{ 7 } } } \text{ und } 5^{ - { \frac{ 5 }{ 9 } } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} zwischen den beiden Zahlen \mathkor {} {2^{\sqrt{5} }} {und} {3^{\sqrt[3]{2} }} {} folgere daraus, welche größer ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} gibt, die auf $\Q$ mit $f$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {(\Q,+,0)} {(\R_+, \cdot,1)
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles
\mathl{b>0}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $x \in \Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne $e^3$ mit Hilfe der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1000 } }}{.}
}
{} {}
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