Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die zweite binomische Formel für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien $x, y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne
\mathdisp {{ \left( 2x^3- xy^2z- 4 x^2 y^2 \right) } { \left( -2 x^3 - z- xyz \right) } - x^2 { \left( 4- 3y-5 xy^5 z \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{x\in R}{} und $n \in \N_+$. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{n}-1
}
{ =} {(x-1) { \left( x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3} + \cdots + x^2 + x +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z^2$ mit der
\definitionsverweis {komponentenweisen}{}{}
Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xy
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mathkor {} {x} {oder} {y} {}
gleich $0$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein befindet sich in Position
\mathl{(-2,3)\in \Z^2}{,} wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen
\zusatzklammer {etwas größeren} {} {}
Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
$\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der
\definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Addition
\zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Multiplikation mit $-1$, also die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {g} { -g } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe
\betonung{positiv}{} und
\betonung{negativ}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
besitzen. Wie sieht es in $\Z$ aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es seien
\mathl{k,m,n}{} ganze Zahlen und
\mathl{x,y \in R}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungfuenf{Zu $n \in \N$ ist
\mathl{nx}{}
\zusatzklammer {also die $n$-fache Summe von $x$ mit sich selbst} {} {}
gleich
\mathl{(1 + \cdots + 1) \cdot x}{,} wobei links die $n$-fache Summe der $1 \in R$ mit sich selbst steht.
}{Zu $n \in \N$ ist $-n$
\zusatzklammer {also die $n$-fache Summe des Negativen von $1$ mit sich selbst} {} {}
gleich dem Negativen
\zusatzklammer {in $R$} {} {}
von $n=1 + \cdots + 1$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (m+k) x
}
{ =} { mx + kx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k ( x+y)
}
{ =} { k x + ky
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (km) x
}
{ =} { k (mx)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,}
die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: \anfuehrung{Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die $0$ ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr}{.} Sind ihre Beobachtungen korrekt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und es sei $B$ die Menge aller
\definitionsverweis {bijektiven Abbildungen}{}{}
von $M$ nach $M$. Zeige, dass $B$ mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von Abbildungen eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu
\mathl{f \in B}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{g \in G}{} ein Element und sei
\maabbeledisp {\varphi} {G} {G
} {x} { x \circ g
} {,}
die Verknüpfung mit $g$. Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu
Lemma 19.8?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Größergleichrelation}{}{} $\geq$ auf den \definitionsverweis {ganzen Zahlen}{}{} eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{.} Zeige, dass für jedes $x \in R$ die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{xx
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {angeordneten Ring}{}{}
aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.
a)
\mathl{4,-7,-6,8, 5}{,}
b)
\mathl{-3,-2,-1,0}{,}
c)
\mathl{-4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6}{.}
Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{\preccurlyeq}{,} bei der
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \preccurlyeq} { \Z_-
}
{ \preccurlyeq} { \Z_+
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt und die auf den Teilmengen $\Z_-$ und $\Z_+$ mit der Ordnung $\leq$ übereinstimmt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\preccurlyeq$ eine
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
auf $\Z$ ist.
}{Zeige, dass mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \preccurlyeq }{x,y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \preccurlyeq} { x+y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Zeige, dass mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \preccurlyeq }{x,y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \preccurlyeq} { x \cdot y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Ist
\mathl{(\Z, \preccurlyeq )}{} ein
\definitionsverweis {angeordneter Ring}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere Grenzen des \stichwort {Permanenzprinzips} {} angesichts der Definition 19.9 in Bezug zu Lemma 10.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Teilerbeziehung besteht zwischen $0$ und einer beliebigen ganzen Zahl $n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen $1$ und einer beliebigen ganzen Zahl $n$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen $a,b \in \Z$ aus
\mathdisp {a{{|}}b \text{ und } b{{|}}a} { }
die Beziehung $a=\pm b$ folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {5382 -6981} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {-75009 + 9817} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {1-10+100-1000+10000-100000+1000000} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Darstellung der
\definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 5 \cdot 10^3 -70 \cdot 10^2 -3 \cdot 10^1 +6\cdot 10^0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Zehnersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Darstellung der
\definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 11 \cdot 10^3 +6 \cdot 10^2 +4 \cdot 10^1 -2561 \cdot 10^0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Zehnersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es liegen zwei ganze Zahlen
\mathkor {} {m} {und} {n} {}
im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe
\mathl{m+n}{} allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gilt für ganze Zahlen, die im Dezimalsystem gegeben sind, für die Teilbarkeit durch $3$ ein Quersummentest? Wie ist dieser zu formulieren?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $x, y$ und $z$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( x^2-3 y z y-2z y^2+4 x y^2 \right) } { \left( 2 x y^3 x-z^2 x y x \right) } { \left( 1-3z y x z^2y \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für ganze Zahlen
\mathl{a,b,c \in \Z}{} genau dann das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+ (b \cdot c)
}
{ =} { (a+b) \cdot (a+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.
a)
\mathl{-6,\,4,\,-5,\,3,\, 5}{,}
b)
\mathl{-7,\,-5,\,-6,\,-4}{,}
c)
\mathl{-6+2,\, 2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9}{.}
Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Welche Ordnungseigenschaften erfüllt die Teilarkeitsbeziehung auf $\Z$, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Rechne im Dezimalsystem
\mathdisp {-4901 -5328} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die Darstellung der
\definitionsverweis {ganzen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { -3 \cdot 10^3 +31 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 -37\cdot 10^0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Zehnersystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass es für jede ganze Zahl $z$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n c_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-4
}
{ \leq} { c_i
}
{ \leq} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{} {}