Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den prozentualen Damen- und Herrenanteil in der Vorlesung Grundkurs Mathematik am 5. Februar 2019.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Kuchen wurde in zwölf gleich große Stücke unterteilt, von denen bereits $7$ gegessen wurden. Wie viel Prozent des Kuchens sind noch da?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Wie viel Prozent sind $1000$?
}{Wie viel sind $1000 \%$?
}{Berechne
\mathdisp {{ \frac{ 7 \% }{ 4 \,{}^{0\!}\!/\!_{00} } } - { \frac{ 5 \,{}^{0\!}\!/\!_{00} }{ 11 \% } }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke die
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
bis
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 20 } }}{} in gerundeten Promille aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bei einer Befragung nach der Lieblingseissorte stellt sich heraus, dass jeweils ein Drittel der Befragten für Erdbeereis, für Himbeereis und für Zitroneneins plädiert. In Prozent sind es also jeweils $33$. Wo ist das Prozent
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{100 \% - 3 \cdot 33 \%
}
{ = }{1 \%
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geblieben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {European at the cinema 1996-2016.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { European at the cinema 1996-2016.png } {} {Niccolò Caranti (OBC)} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Schätze im angegebenen Kuchendiagramm die Anteile der Teilstücke in Prozent und durch einen Winkel ein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungvier{Drücke die folgenden Winkel in Prozent bezogen auf eine Volldrehung aus.
\mathdisp {36^{\circ}, \, 30^{\circ} , \, 90^{\circ} , \, 45^{\circ} , \, 120^{\circ}} { . }
}{Drücke die folgenden Winkel in Prozent bezogen auf eine Vierteldrehung aus.
\mathdisp {10^{\circ}, \, 30^{\circ} , \, 90^{\circ} , \, 45^{\circ} , \, 180^{\circ}} { . }
}{Drücke die folgenden Prozentangaben bezogen auf eine Volldrehung als Winkel aus.
\mathdisp {10 \% , \, 20 \% , \, 40 \%, \, 50 \% , \, 100 \%} { . }
}{Drücke die folgenden Teildrehungen in Prozent bezogen auf eine Volldrehung und mit einem Winkel aus.
\mathdisp {\text{Halbdrehung}, \, \text{Vierteldrehung}, \, \text{Dritteldrehung}, \, \text{Zwölfteldrehung}, \, \text{Fünfteldrehung}, \,\text{Sechsteldrehung}} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {LucySonnenscheinEis4.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { LucySonnenscheinEis4.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lucy Sonnenschein gibt
\mathl{20 \%}{} ihres Taschengeldes für Süßigkeiten aus, davon wiederum $40 \%$ für Eis. Wie viel Prozent ihres Taschengeldes gibt sie für Eis aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die engagierte Software-Entwicklerin Betti van Deyk verbucht folgende Lohnsteigerungen in ihren ersten drei Berufsjahren:
\mathl{+10 \%}{} nach einem Jahr,
\mathl{+8 \%}{} nach dem zweiten Jahr,
\mathl{+15 \%}{} nach dem dritten Jahr. Wie verhält sich prozentual ihr Gehalt nach drei Jahren zu ihrem Anfangsgehalt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Händler spekulieren mit dem gleichen Kapitaleinsatz an der Börse. Händler $A$ macht in der ersten Woche ein Prozent Gewinn und in der zweiten Woche ein Prozent Verlust, dagegen macht Händler $B$ in der ersten Woche ein Prozent Verlust und in der zweiten Woche ein Prozent Gewinn. Wie sieht ihre Geschäftsbilanz in den zwei Wochen aus, und wer steht nach zwei Wochen besser da?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bauer Ernst erntet $100$ Kilogramm Wassermelonen, die zu $99$ Prozent aus Wasser bestehen. Er lässt sie eine Woche lang in der Sonne liegen, wodurch sie etwas austrocknen und sich ihr Wasseranteil auf $98$ Prozent reduziert, die festen Bestandteile ändern sich nicht. Wie viel wiegen die Melonen jetzt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Karl trinkt eine Flasche Bier \zusatzklammer {$0{,}5$ Liter} {} {} mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat \zusatzklammer {diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert} {} {.} Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen $995$ und
\mathl{1005}{} Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens $90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.
\aufzaehlungdrei{Wie schwer
\zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {}
kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
}{Wie leicht
\zusatzklammer {in gerundeten Gramm} {} {}
kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
}{Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungvier{Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde? }{Wie viel Prozent von einer Stunde sind $45$ Minuten? }{Wie viele Minuten sind $90 \%$ einer Stunde? }{Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf eine Ware ist beim Verkauf eine Mehrwertsteuer von $19 \%$ vom Grundpreis zu entrichten, die im Verkaufspreis Niederschlag findet. Wie viel Prozent vom Verkauspreis ist das?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bei einer Wahl ist der Anteil der Nichtwähler gleich $20 \%$ und der Anteil der ungültigen Stimmen \zusatzklammer {bezogen auf alle abgegebenen Stimmen} {} {} gleich $2 \%$. Die Partei \anfuehrung{Soziale Alternative für Rentner}{} enthält $5 \%$ der gültigen Stimmen. Wie viel Prozent der Bevölkerung haben diese Partei gewählt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bei einer Wahl werden
\mathl{51 076 953}{} Stimmen abgegeben. Die Partei $A$ bekommt
\mathl{19 584 022}{} Stimmen, die Partei $B$ bekommt
\mathl{17 354 313}{} Stimmen, die Partei $C$ bekommt
\mathl{6 274 560}{} Stimmen, die Partei $D$ bekommt
\mathl{4 103 045}{} Stimmen. Alle anderen Partein bekommen weniger als $1000000$ Stimmen.
\aufzaehlungvier{Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien?
}{Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien von den gültigen Stimmen?
}{Es gilt die $5 \%$-Hürde. Wie viel Prozent der Sitze im Parlament bekommen die Parteien?
}{Es gibt $510$ Sitze. Wie verteilen sich diese auf die Parteien?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Lohnabschluss bei Tarifverhandlungen sieht vor: Jeder Arbeitnehmer bekommt einen jährlichen pauschalen Zuschlag von $600$ Euro und einen prozentualen Zuwachs von $2,3 \%$. Berechne die prozentualen Zuwächse für die folgenden Lohngruppen
\zusatzklammer {Monatliches Gehalt vor dem Tarifabschluss} {} {.}
\wertetabellevierausteilzeilen { Lohngruppe }
{\mazeileundvier {A} {B} {C} {D} }
{ Gehalt }
{\mazeileundvier {1950} {2300} {2768} {3010} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuerprogression_Steuerbetragsfunktionen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Steuerprogression_Steuerbetragsfunktionen.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die Software-Entwicklerin Betti van Deyk verdient
\mathl{70 000}{} Euro pro Jahr. Wie viel Steuer müsste sie prozentual gemäß der abgebildeten Steuermodelle zahlen? Wie viel Steuer müsste sie je nach Modell für den
\mathl{70 000.}{} verdienten Euro zahlen, wie viel für den
\mathl{30 000.}{} verdienten Euro?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Sendung erzielt mit durchschnittlich
\mathl{2 200 000}{} Zuschauern einen Marktanteil von
\mathl{18 \%}{.} Welchen Marktanteil erzielt eine gleichzeitig laufende Sendung mit
\mathl{1 500 000}{} Zuschauern?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf einer Party sind
\mathl{80 \%}{} der anwesenden Frauen sympathisch und
\mathl{70 \%}{} der anwesenden Männer sympathisch. Was kann man über den Prozentsatz der sympathischen Menschen auf der Party sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Partei verliert bei einer Wahl gegenüber der letzten Wahl $3$ Prozentpunkte. Damals hatte sie einen Stimmenanteil von $15 \%$. Wie viel hat sie prozentual verloren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {003 Prawostronny obszar krytyczny.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 003 Prawostronny obszar krytyczny.svg } {} {Szczepan1990} {Commons} {gemeinfrei} {}
In welchem \definitionsverweis {Prozentrang}{}{} würden Sie Ihre mathematische Begabung einordnen? Bezogen auf welchen Bevölkerungsanteil? Auf welchen Erfahrungen beruht Ihre Einschätzung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Quotienten
\mathl{{ \left( { \frac{ n+1 }{ n } } \right) }^2}{}
für
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass es zu jedem $\epsilon > 0$ ein
\mathl{m \in \N}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ n+1 }{ n } } \right) }^2
}
{ \leq} { 1+ \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathl{b \in K_+}{} mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {\varphi=\varphi_{b}} {\Z} {K
} {n} {b^n
} {,}
und es sei $\psi$ die Exponentialfunktion zur Basis $b^{-1}$. Zeige, dass die beiden Funktionsgraphen zu $\varphi$ und zu $\psi$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Population wachse pro Jahr um $0,1$ Prozent. Man gebe unter Verwendung von Lemma 25.9 \zusatzklammer {bzw. der Bernoulli-Ungleichung} {} {} eine Jahreszahl $n$ mit der Eigenschaft an, dass sich die Population in diesem Zeitraum mindestens verdoppelt. Gibt es bessere Methoden, ein solches $n$ zu finden?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme ein $m \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1,1 \right) }^n
}
{ \geq} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in
Beispiel 27.11
das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe explizit ein $m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,03^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme ein $m \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um $10 \%$ schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr $10 \%$ seiner Schlauheit. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist. } {Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Im Ausgangsjahr erwirtschaftet die Volkswirtschaft $A$ doppelt so viel wie die Volkswirtschaft $B$. Das jährliche Wachstum der Volkswirtschaft $A$ beträgt $1 \%$ und das jährliche Wachstum der Volkswirtschaft $B$ beträgt $3 \%$. Nach wie vielen Jahren hat die Volkswirtschaft $A$ die Volkswirtschaft $B$ eingeholt \zusatzklammer {hier ist eine grobe Rechnung erlaubt} {} {?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Jetzt ist es
\mathl{17}{} Uhr $25$. Wie viel Prozent des Tages stehen noch bevor?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Eine Partei gewinnt bei einer Wahl gegenüber den letzten Wahlen $5$ Prozentpunkte dazu. Jetzt hat sie einen Stimmenanteil von $25 \%$. Wie viel hat sie prozentual zugelegt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Bei einer zunehmend aggressiver geführten Schneeballschlacht auf dem Schulhof der Haseigelschule wächst der durchschnittliche Durchmesser der geworfenen Schneebälle pro Minute um $5 \%$. \aufzaehlungzwei {Um wie viel Prozent wächst das Volumen der Schneebälle pro Minute? } {In welchem Zeitraum verdoppelt sich das Volumen der Schneebälle? }
}
{} {}
In den beiden folgenden Aufgaben ist zwar nicht nach dem minimalen $m$ gefragt, es soll aber im Rahmen der uns zur Verfügung stehenden Methoden ein möglichst kleines $m$ gefunden werden.
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme ein $m \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1,05 \right) }^n
}
{ \geq} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme ein $m \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1,1 \right) }^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}