Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Liste der Hauptsätze

???: Satz über die minimale Bargeld-Darstellung

Es gelten die folgenden Aussagen.

1. Jede natürliche Zahl ${}w$ besitzt eine eindeutige Summendarstellung

   ${}w=a_{1}\cdot 1+a_{2}\cdot 2+a_{3}\cdot 5+a_{4}\cdot 10+a_{5}\cdot 20+a_{6}\cdot 50+a_{7}\cdot 100+a_{8}\cdot 200+a_{9}\cdot 500\,$

   (mit $a_{1},\ldots ,a_{9}\in \mathbb {N}$) mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden (also $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{9}$) unter allen Darstellungen minimal ist.

2. Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.
   a) Die Koeffizienten ${}a_{i}$, die sich auf ${}1,5,10,50,100$ beziehen, sind ${}\leq 1$.
   b) Die Koeffizienten ${}a_{i}$, die sich auf ${}2,20,200$ beziehen, sind ${}\leq 2$.
   c) Falls der Koeffizient, der sich auf ${}2$ (bzw. ${}20$ bzw. ${}200$) bezieht, gleich ${}2$ ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf ${}1$ bzw. ${}10$ bzw. ${}100$ bezieht) gleich ${}0$.
3. Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend ${}a_{9},\ldots ,a_{1}$ bestimmt, wobei man folgendermaßen vorgeht

   $a_{9}{\text{ ist die maximale natürliche Zahl mit }}a_{9}\cdot 500\leq w,$

   definiere

   ${}w_{8}:=w-a_{9}\cdot 500\,.$

   $a_{8}{\text{ ist die maximale natürliche Zahl mit }}a_{8}\cdot 200\leq w_{8},$

   definiere

   ${}w_{7}:=w_{8}-a_{8}\cdot 200\,,$

   etc.

 

???: Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl

Wenn ${}M$ eine Menge ist und wenn

$\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$

und

$\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$

bijektive Abbildungen sind,

so ist

${}n=k\,.$

Die Anzahl einer endlichen Menge ist also wohldefiniert.

 

???: Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle

Es seien ${}(N_{1},0_{1},\prime )$ und ${}(N_{2},0_{2},\star )$ Modelle für die natürlichen Zahlen.

Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung

$\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2},$

die das Zählen (also die ${}0$ und die Nachfolgerabbildung) respektiert.

 

???: Prinzip der vollständigen Induktion

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

1. ${}A(0)$ ist wahr.
2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.

 

???: Eindeutigkeit der Addition auf Peano-Modell

Auf den natürlichen Zahlen

gibt es genau eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

mit

$x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} \,\,{\text{ und }}\,\,x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N} .$

 

???: Satz über die Addition und endliche Mengen

Es seien ${}M$ und ${}N$ disjunkte endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen.

Dann besitzt ihre Vereinigung ${}M\cup N$ gerade ${}m+n$ Elemente.

 

???: Eindeutigkeit der Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$

Auf den natürlichen Zahlen

gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

die

$0\cdot y=0{\text{ für alle }}y\in \mathbb {N} {\text{ und }}x'\cdot y=x\cdot y+y{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$

erfüllt.

 

???: Satz über die Multiplikation und endliche Mengen

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen.

Dann besitzt die Produktmenge ${}M\times N$ genau ${}m\cdot n$ Elemente.

 

???: Potenzgesetze (${}\mathbb {N}$)

Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}m,n\in \mathbb {N}$ seien.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

3. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

 

???: Integritätseigenschaft für ${}\mathbb {N}$

Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich ${}0$, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist.

 

???: Kürzungsregel

Aus einer Gleichung ${}n\cdot k=m\cdot k$ mit ${}k,m,n\in \mathbb {N}$ und mit ${}k\neq 0$ folgt

${}n=m$.

 

???: Beziehung zwischen Ordnungsrelation und Addition

Für natürliche Zahlen ${}n,k$ gilt

${}n\geq k\,$

genau dann, wenn es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit

${}n=k+m\,$

gibt.

 

???: Größergleich auf ${}\mathbb {N}$ (Struktur)

Auf den natürlichen Zahlen

ist durch die Größergleich-Relation ${}\geq$ eine totale Ordnung definiert.

 

???: Verträglichkeit der Ordnung mit Addition und Multiplikation

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}a\geq b\,$

   genau dann, wenn

   ${}a+c\geq b+c\,$

   ist.

2. Aus

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   folgt

   ${}a+c\geq b+d\,.$

3. Aus

   ${}a\geq b\,$

   folgt

   ${}ca\geq cb\,.$

4. Aus

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   folgt

   ${}ac\geq bd\,.$

5. Aus

   ${}c\geq 1\,$

   und

   ${}ca\geq cb\,.$

   folgt

   ${}a\geq b\,.$

 

???: Satz über die Differenz und endliche Mengen

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei

${}T\subseteq M\,$

eine Teilmenge, die ${}k$ Elemente besitze.

Dann besitzt

$M\setminus T$

genau ${}m-k$ Elemente.

 

???: Distributivgesetz für die Differenz

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$.

Dann ist

${}c(a-b)=ca-cb\,.$

 

???: Algebraische Struktur der natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$

bilden einen kommutativen Halbring.

 

???: Allgemeines Distributivgesetz (kommutativer Halbring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring und es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}R$.

Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz

${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$

 

???: Binomische Formel in einem kommutativen Halbring

In einem kommutativen Halbring ${}R$

gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung

${}(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,.$

 

???: Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie (Existenz)

Jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$, besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.

D.h. es gibt eine Darstellung

${}n=p_{1}\cdot p_{2}{\cdots }p_{r}\,$

mit Primzahlen ${}p_{i}$.

 

???: Satz von Euklid (Primzahlen)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

 

???: Die Anzahl der Permutationen

Auf einer endlichen Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen

gibt es ${}n!$ bijektive Abbildungen von ${}M$ nach ${}M$.

 

???: Teilmengenanzahl

Die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen in einer ${}n$-elementigen Menge ist

der Binomialkoeffizient

${\binom {n}{k}}.$

Insbesondere sind die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen.

 

???: Pascaldreieck

Die Binomialkoeffizienten

erfüllen die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$

 

???: Der Binomische Lehrsatz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring und ${}a,b\in R$. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

 

???: Division mit Rest (${}\mathbb {N}$)

Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

${}n=qd+r\,.$

 

???: Zifferndarstellung natürlicher Zahlen

Zu jeder natürlichen Zahl ${}n$

gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen ${}k$ und ${}r_{0},r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ mit ${}0\leq r_{i}\leq 9$ und mit ${}r_{k}\neq 0$ (außer bei ${}n=0$) mit der Eigenschaft

${}n=\sum _{i=0}^{k}r_{i}10^{i}\,.$

 

???: Vergleichssatz für Zahlen im Zehnersystem

Es seien

${}m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$

und

${}n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell -1}10^{\ell -1}\,$

zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem (also mit ${}0\leq a_{i},b_{i}\leq 9$).

Dann ist

${}m>n\,$

genau dann, wenn

${}k>\ell \,$

oder wenn ${}k=\ell$ ist und wenn es ein ${}s$, ${}0\leq s<k$, derart gibt, dass

$a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}>b_{s}$

ist.

 

???: Korrektheitssatz für das schriftliche Addieren

Das schriftliche Addieren im Zehnersystem ist korrekt.

 

???: Korrektheitssatz für das schriftliche Multiplizieren

Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.

 

???: Korrektheitssatz für das schriftliche Subtrahieren

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.

 

???: Umformungsprinzip für Gleichungen

Es sei

${}f(x)=g(x)\,$

eine Gleichung in der Variablen ${}x$ über einem gegebenen Zahlenbereich ${}M$. Es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Wenn ${}a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist ${}a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn ${}a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$

   ist.

 

???: Die algebraische Struktur der ganzen Zahlen (Begrifflich)

Die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$

bilden einen kommutativen Ring.

 

???: Eindeutige Existenz des Inversen

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem ${}x\in G$ das Element ${}y\in G$ mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

 

???: Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

 

???: Lemma von Bezout (${}\mathbb {N}$)

Es seien ${}a,b\in \mathbb {N}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen.

Dann gibt es ganze Zahlen ${}r,s\in \mathbb {Z}$ mit ${}ra+sb=1$.

 

???: Division mit Rest (${}\mathbb {Z}$)

Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

${}n=qd+r\,.$

 

???: Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$

Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau

die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl ${}d$.

 

???: Euklidischer Algorithmus (${}\mathbb {Z}$)

Es seien ganze Zahlen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b\neq 0$ gegeben.

Dann besitzt die Folge ${}r_{i}$, ${}i=0,1,2,\ldots$, ${},$ der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}r_{i+2}=0$ oder ${}r_{i+2}<r_{i+1}$.
2. Es gibt ein (minimales) ${}k\geq 2$ mit ${}r_{k}=0$.
3. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} (r_{i-1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i+1})\,$

   für alle ${}i=1,\ldots ,k$

4. Sei ${}k\geq 2$ der erste Index derart, dass ${}r_{k}=0$ ist. Dann ist

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$

 

???: Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen.

Dann ist

${}\mathbb {Z} a_{1}\cap \mathbb {Z} a_{2}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} u\,,$

wobei ${}u$ das kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.

 

???: GgT und kgV in ${}\mathbb {Z}$

Für natürliche Zahlen ${}a,b,g$ gelten folgende Aussagen.

1. Für teilerfremde ${}a,b$ ist

   ${}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

2. Es gibt ${}c,d\in \mathbb {Z}$ mit

   $a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$

   wobei ${}c,d$ teilerfremd sind.

3. Es ist

   ${}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$

4. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

 

???: Das Lemma von Euklid

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}p$ teile ein Produkt ${}ab$ von natürlichen Zahlen ${}a,b\in \mathbb {N}$.

Dann teilt ${}p$ einen der Faktoren.

 

???: Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.

D.h. es gibt eine Darstellung

${}n=p_{1}{\cdots }p_{r}\,$

mit Primzahlen ${}p_{i}$, und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.

 

???: Teilbarkeit mit p-Exponenten

Es seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird ${}n$ von ${}k$ genau dann geteilt,

wenn für jede Primzahl ${}p$ die Beziehung

${}{\nu _{p}(n)}\geq {\nu _{p}(k)}\,$

gilt.

 

???: KgV und ggT mit p-Exponenten

Es seien ${}n$ und ${}m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen ${}n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}$ und ${}m=\prod _{p}p^{\nu _{p}(m)}$.

Dann ist

${}\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\nu _{p}(n)},{\nu _{p}(m)}\right)}}\,$

und

${}\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\nu _{p}(n)},{\nu _{p}(m)}\right)}}\,.$

 

???: Eigenschaften eines proportionalen Zusammenhangs

Es sei ein proportionaler Zusammenhang

${}y=cx\,$

zwischen den beiden Größen ${}x$ und ${}y$ gegeben. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}\varphi (0)=0\,.$

2. Es ist

   ${}\varphi (1)=c\,.$

3. Wenn man die Größe ${}x$ um einen bestimmten Wert ${}x_{0}$ erhöht, so erhöht sich die Größe ${}y$ um einen bestimmten Wert ${}y_{0}$, der unabhängig von ${}x$ ist.
4. Wenn man die Größe ${}x$ um einen bestimmten Faktor vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht), so vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht) sich die Größe ${}y$ um den gleichen Faktor.

 

???: Algebraische Struktur von ${}\mathbb {Q}$

Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.

1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}0$ als neutralem Element. Zu jedem ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein ${}y\in \mathbb {Q}$ mit

   ${}x+y=0\,.$

2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}1$ als neutralem Element. Zu jedem ${}z\in \mathbb {Q}$ , ${}z\neq 0$, gibt es ein ${}w\in \mathbb {Q}$ mit

   ${}z\cdot w=1\,.$

3. Es gilt das Distributivgesetz.

 

???: Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.

 

???: Struktur auf ${}(\mathbb {Q} ,\geq )$

Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ bilden mit der in der Definition 24.1 festgelegten Ordnung

einen angeordneten Körper.

 

???: Bernoullische Ungleichung

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes ${}x\in K$ mit ${}x\geq -1$ die Abschätzung

${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$

 

???: Vergleich von zwei positiven Zahlen nach Archimedes

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu ${}x,y\in K$ mit ${}x>0$ stets ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}nx>y$.

 

???: Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}x>0$.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\frac {1}{n}}\leq x$.

 

???: Potenzen von x >1

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x>1$.

Dann gibt es zu jedem ${}B\in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\geq B\,.$

 

???: Wachstum und Injektivität

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow K$

eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.

Dann ist ${}f$ injektiv.

 

???: Monotonieverhalten linearer Funktionen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}c\in K$ und

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Bei ${}c>0$ ist ${}f$ streng wachsend.
2. Bei ${}c=0$ ist ${}f$ konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
3. Bei ${}c<0$ ist ${}f$ streng fallend.

 

???: Monotonieverhalten von Potenzfunktionen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist streng wachsend.

2. Die Abbildung

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ ungerade streng wachsend.

3. Die Abbildung

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$

   ist bei ${}n$ gerade streng fallend.

 

???: Die algebraische Struktur der Dezimalbrüche

Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.

Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.

 

???: Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche

Zu jeder rationalen Zahl ${}q$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}a\in \mathbb {Z}$ derart, dass

${}{\frac {a}{10^{k}}}\leq q<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,$

gilt.

D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${}{\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.

 

???: Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

$\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

zur Basis ${}b$ die folgenden Eigenschaften.

1. Bei ${}b>1$ ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
2. Bei ${}b<1$ ist die Exponentialfunktion streng fallend.

 

???: Wachstumsdominanz der Exponentialfunktion

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}b>1$ gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion

$\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

zur Basis ${}b$. Es sei ${}k$ eine natürliche Zahl.

Dann gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}\varphi _{b}(n)=b^{n}\geq n^{k}\,$

gilt.

 

???: Eigenschaften des Divisionsalgorithmus

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die ${}r_{-i}$ liegen zwischen ${}0$ und ${}b-1$.
2. Die ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N} _{+}$, liegen zwischen ${}0$ und ${}9$.
3. Wenn für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, so sind für alle ${}i>k$ auch ${}z_{-i}=0$. und ${}r_{-i}=0$.
4. Es gibt ein ${}k\in \mathbb {N}$ und ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit ${}i>k$ die Beziehung

   ${}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$

   gilt.

5. Wenn man statt ${}a:b$ den Divisionsalgorithmus ${}ma:mb$ mit ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ wohldefiniert.
6. Bei der Division von ${}a=\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}$ durch eine Zehnerpotenz ${}b=10^{s}$ ist

   ${}z_{0}=\sum _{j=s}^{t-s}c_{j}10^{j-s}\,$

   (was bei ${}t<s$ als ${}0$ zu lesen ist) und

   ${}z_{-i}=c_{-i+s}\,$

   (was für ${}-i<-s$ als ${}z_{-i}=0$ zu lesen ist). Die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.

7. Der Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest ${}r_{-i}$ gleich ${}0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ab einem ${}k$ konstant gleich ${}0$ ist.

 

???: Schachtelungsverhalten der Dezimalbruchfolgen

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und es sei ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.

Dann ist

${}x_{n}\leq x<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,,$

d.h. der ${}n$-te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl ${}x$ bis auf einen Fehler von maximal ${}{\frac {1}{10^{n}}}$. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition 28.5 vor.

 

???: Divisionsalgorithmus und Dezimalbruchfolge

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.

Dann ist

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$. Insbesondere ist für jedes ${}n\in \mathbb {N}$

${}\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\leq {\frac {a}{b}}<\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+10^{-n}\,.$

 

???: Konvergenz der Dezimalbruchfolge

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$.

Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}x$.

 

???: Konvergenz der Dezimalbruchfolge für rationale Zahlen

Zu einer rationalen Zahl ${}x={\frac {a}{b}}$

konvergiert die Dezimalbruchfolge, die man aus dem Divisionsalgorithmus erhält, gegen ${}x$.