Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe das \definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R_{\mathfrak p} \right) }}{} einer \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ an einem \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {} und es sei
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( S \right) }}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen \maabbdisp {} {R_{ \varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}} { S_{\mathfrak p} } {} \zusatzklammer {zwischen den \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}} {} {} und \maabbdisp {} {\kappa { \left( \varphi^{-1}( {\mathfrak p} ) \right) } } { \kappa { \left( {\mathfrak p} \right) } } {} \zusatzklammer {zwischen den \definitionsverweis {Restekörpern}{}{}} {} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} und ${\mathfrak n}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $S$ mit $\varphi^{-1}( {\mathfrak n}) = {\mathfrak m}$. Die Abbildung induziere einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} $R_{\mathfrak m} \rightarrow S_{\mathfrak n}$. Zeige, dass es dann auch ein $f \in R$, $f \not \in {\mathfrak m}$, gibt derart, dass $R_f \rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {Reduktion}{}{} \maabbdisp {} {R} {R/ {\mathfrak n}_R } {} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte \zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mathl{p >0}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zum \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Fasern}{}{} zur \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zur Ringerweiterung
\mathl{R \subseteq R[X_1 , \ldots , X_n]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[X] }
{ \subseteq }{ {\mathbb C}[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem ${\mathbb C}$-Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass es auf dem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine \stichwort {natürliche Topologie} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {komplexe Topologie} {}} {} {} gibt, die im Falle des Polynomringes
\mathl{{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit der metrischen Topologie auf dem ${\mathbb C}^n$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {S } {} zwischen endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebren \mathkor {} {R} {und} {S} {} die induzierte Abbildung \maabbdisp {} { {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} stetig in der natürlichen Topologie ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} ein nichtkonstantes \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { P(z) } {,} die Eigenschaft besitzt, dass \definitionsverweis {Urbilder}{}{} von \definitionsverweis {beschränkten Teilmengen}{}{}
\mathl{T \subseteq {\mathbb C}}{} beschränkt sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_k \in {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}[Y_1 , \ldots , Y_k] } {{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n] } {Y_j} {F_j } {,} \definitionsverweis {ganz}{}{} ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^k } {(x_1 , \ldots , x_n)} {(F_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , F_k (x_1 , \ldots , x_n) ) } {,} die Eigenschaft besitzt, dass \definitionsverweis {Urbilder}{}{} von \definitionsverweis {beschränkten Teilmengen}{}{}
\mathl{T \subseteq {\mathbb C}^k}{} wieder beschränkt sind.

}
{} {}

Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung $F$ eigentlich ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass $F$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei
\mathl{R \subset R[X]}{} die \definitionsverweis {going-up}{}{-}Eigenschaft nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} einer \definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {endlicher Ringhomomorphismus}{}{} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {} aus endlich vielen Punkten bestehen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zu
\mathl{\Q[X] \subseteq \R[X]}{.} Welche sind endlich?

}
{} {}