Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 14

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Funktorielle Eigenschaften des Spektrums

Das Spektrum ordnet nicht nur einem kommutativen Ring einen topologischen Raum zu, sondern auch einem Ringhomomorphismus eine stetige Abbildung zu.



Proposition  

Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Zuordnung

    ist (wohldefiniert und) stetig.

  2. Es ist für jedes Ideal .
  3. Für einen weiteren Ringhomomorphismus

    gilt .

Beweis  

Die Abbildung ist nach Aufgabe 14.1 wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ist genau dann, wenn ist. Dies ist äquivalent zu und ebenso zu . (3) ist klar.


Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt Spektrumsabbildung (zu dem gegebenen Ringhomomorphismus). Bei einem Unterring geht es einfach um die Zuordnung . In diesem Fall spricht man auch von „Runterschneiden“. Vor der nächsten Aussage erinnern wir an einige topologische Eigenschaften von stetigen Abbildungen. Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt abgeschlossen (offen), wenn Bilder von abgeschlossenen (offenen) Mengen wieder abgeschlossen (offen) sind. Unter einer Einbettung versteht man eine injektive Abbildung, bei der die eingebettete Menge homöomorph zur Bildmenge ist.



Proposition  

Es sei ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem Ideal und der Restklassenabbildung

    ist die Spektrumsabbildung

    Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle q^* \colon \operatorname{Spek} { \left( R/{{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|}} \right) } \longrightarrow \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }

    eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild ist.

  2. Zu einem multiplikativen System ist die zur kanonischen Abbildung

    gehörige Abbildung

    injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von , die zu disjunkt sind.

  3. Zu ist die zur kanonischen Abbildung

    gehörige Abbildung

    eine offene Einbettung, deren Bild gleich ist.

Beweis  

(1) folgt aus Aufgabe 10.10: Die Primideale in entsprechen über den Primidealen von , die enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal und einem Primideal ist genau dann, wenn

gilt. Also ist das Bild von gleich und damit abgeschlossen.
Für (2) siehe Aufgabe 14.2.
(3). Da für ein Primideal und ein Element die Beziehung genau dann gilt, wenn zum multiplikativen System disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich ist. Das gleiche Argument, angewendet auf bzw. zeigt, dass das Bild von gleich und damit offen ist.




Lemma  

Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal gleich .

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen mit und mit .

Beweis  

Aufgrund von Proposition 14.2 müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal gilt genau dann, wenn sowohl als auch gilt. Die erste Bedingung ist zu und die zweite Bedingung ist zu

äquivalent.


Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes. Wir werden später eine weitere Beschreibung der Faser mit Hilfe des Tensorprodukts kennenlernen. Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal gleich ist, da in diesem Fall aus sofort folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch beschrieben.



Korollar  

Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal genau dann leer, wenn .

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 14.3 und Proposition 13.4  (6).


Beispiel  

Es sei ein Körper und sei ein -Algebrahomomorphismus

gegeben. Nach Lemma 14.3 wird die Faser über einem maximalen Ideal der Form durch beschrieben. Ein -Punkt gehört zu dieser abgeschlossenen Menge genau dann, wenn

für ist.



Beispiel  

Die Faser zu

über einem Primideal zu einer Primzahl ist nach Lemma 14.3 und Proposition 14.2  (1) gleich

Über dem Nullideal ist die Faser gleich

In jedem Fall ist also die Faser gleich , wenn den Restekörper zum Primideal bezeichnet.




Die Spektrumsabbildung bei einer ganzen Erweiterung

Wir betrachten Besonderheiten der Spektrumsabbildung zu einer ganzen Erweiterung. Die folgende Aussage heißt die going up-Eigenschaft einer ganzen Erweiterung.



Lemma  

Es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien Primideale in und ein Primideal in mit .

Dann gibt es ein Primideal in mit .

Beweis  

Wir betrachten die injektive Abbildung

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal finden, das auf ein vorgegebenes Primideal runterschneidet. Wir lokalisieren an und an , wobei die induzierte Abbildung

nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass ein lokaler Integritätsbereich ist und eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus , das auf das maximale Ideal herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über leer ist. Dann ist nach Korollar 14.4 das Erweiterungsideal gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente und mit . Diese Gleichung gilt auch im Unterring . Die Erweiterung ist endlich erzeugt und ganz, also nach Satz 11.10 sogar endlich. Es ist und damit . Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus , ein Widerspruch.


Die folgende Aussage heißt die lying over-Eigenschaft einer injektiven ganzen Erweiterung.



Lemma  

Es sei

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

surjektiv.

Beweis  

Sei vorgegeben. Die induzierte Abbildung

ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu

Lemma 14.7 zeigt, dass es ein Primideal aus gibt, das auf runterschneidet.




Satz  

Es seien und kommutative Ringe und es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

abgeschlossen.

Wenn zusätzlich injektiv ist, so ist surjektiv.

Beweis  

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge mit einem Ideal , dass das Bild

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

nach Lemma 14.8 surjektiv. Also ist . Der Zusatz folgt ebenfalls aus Lemma 14.8.




Lemma  

Es sei ein Körper, ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung.

Dann ist auch ein Körper.

Beweis  

Es sei , . Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

Wenn ist, so können wir ausklammern und erhalten, da ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass ist. Dann ist

und somit ist eine Einheit.




Lemma  

Es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien Primideale in mit .

Dann ist .

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

Beweis  

Es sei . Wir machen den Übergang

und betrachten die induzierte Abbildung

die ebenfalls ganz ist. Nach Lemma 14.3 ist die Faser von über . Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Sei eine Inklusion von Primidealen aus . Wir gehen zu über. Somit ist ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Lemma 14.10 ist selbst ein Körper. Also ist




Satz  

Es sei

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

Beweis  

Zu einer Primidealkette aus ist die Kette nach Lemma 14.11 ebenfalls echt, so dass

ist. Zu einer Primidealkette aus gibt es zunächst nach Lemma 14.8 ein Primideal aus mit . Nach Lemma 14.7 kann man dies sukzessive zu einer Kette mit fortsetzen. Daher ist auch



Satz

Es sei

ein endlicher Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.

Dann bestehen die Fasern der Spektrumsabbildung

aus endlich vielen Punkten.

Beweis

Siehe Aufgabe 14.16.



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