Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)

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Plato (427-347 v. C.) sagte: „die Bedeutung der Geometrie beruht nicht auf ihrem praktischen Nutzen, sondern darauf, daß sie ewige und unwandelbare Gegenstände untersucht und danach strebt, die Seele zur Wahrheit zu erheben“.


Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Invariantentheorie. Die Grundfrage der Invariantentheorie ist, welche Größen (Funktionen, Polynome) bei einem gegebenen Symmetriebegriff, der durch eine Gruppenoperation realisiert wird, nur vom Isomorphietyp des geometrischen Objektes abhängt. Die Operation auf einem geometrischen Objekt induziert eine Operation auf der Funktionsmenge, derart, dass geometrische und algebraische Methoden Anwendung finden.

Besprochen werden neben den Grundlagen u.a. Kongruenzfragen, symmetrische Polynome, Gruppenoperationen, lineare Darstellungen von Gruppen, Invariantenringe, Graduierungen, Monoidringe, das Spektrum des Invariantenringes als Quotient der Operation, der Satz von Chevalley-Shepherd-Todd, die Klassifikation von endlichen Symmetriegruppen, Quotientensingularitäten, linear reduktive Gruppen und Endlichkeitssätze für die Invariantenringe.

Diese Vorlesung wendet sich an Studierende im Masterstudium Mathematik, vorausgesetzt werden die Anfängervorlesungen und einige wenige Grundkenntnisse in kommutativer Ringtheorie (Polynomring in mehreren Variablen, Ideale, Restklassenbildung, Nenneraufnahme). Dozent ist Holger Brenner.