Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in . Zeige: ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit .


Aufgabe

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System mit . Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal mit und mit gibt.


Aufgabe

Sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.


Vor den nächsten Aufgaben erinnern wir an den Begriff eines lokalen Ringes und einer Lokalisierung.


Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.


Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an die Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn nur dann eine Einheit ist, wenn oder eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.


Aufgabe

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.


Aufgabe

Sei ein Körper. Beschreibe das Spektrum von




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.


Den in der vorstehenden Aufgabe auf zweifache Weise konstruierten Körper nennt man auch den Restekörper in . Er wird mit bezeichnet.



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