Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Definitionsabfrage
Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation die Gleichheit
besteht, wobei aus entsteht, indem man überall in die Variable durch ersetzt.
Das -te elementarsymmetrische Polynom in Variablen ist das Polynom (mit )
Es sei ein Körper und der Polynomring über . Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch
falls der Grad von , (also ), kleiner als der Grad von ist, oder, bei gleichem Grad, wenn , aber ist, gegeben.
Es sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Abbildung
heißt Gruppenoperation (von auf ), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.
- für alle .
- für alle und für alle .
Es sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Gruppenoperation von auf heißt treu, wenn aus für alle folgt, dass ist.
Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere. Eine Teilmenge heißt -invariant, wenn zu jedem und jedem auch gilt.
Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Man nennt zwei Elemente
-äquivalent (oder äquivalent unter ), wenn es ein mit gibt.
Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Die Äquivalenzklassen auf zur - Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.
Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Ein Punkt heißt Fixpunkt der Operation, wenn ist für alle .
Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Zu heißt
die Isotropiegruppe zu .
Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Die Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ein mit gibt.
Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit
bezeichnet. Die Abbildung
wobei die Bahn durch bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.
Es sei eine Gruppe und seien und zwei Mengen, auf denen jeweils operiert. Dann heißt eine Abbildung
-invariant (oder -verträglich) wenn für alle und alle die Gleichheit
gilt.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Gruppe. Eine Operation
heißt linear, wenn für jedes die Abbildung
- linear ist.
Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem - Vektorraum linear operiere. Ein Untervektorraum heißt -invariant, wenn für alle und alle auch ist.
Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem - Vektorraum linear operiere. Der Untervektorraum
heißt der Fixraum der Gruppenoperation.
Es sei eine Gruppe, ein Körper und ein (endlichdimensionaler) - Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus
nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ).
Es sei eine endliche Gruppe und ein Körper. Unter der regulären Darstellung von versteht man den Gruppenhomomorphismus
Es sei ein Monoid und ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus
ein Charakter von in .
Es sei ein Gruppe und ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere
die Charaktergruppe von (in ).
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen , wobei die Linearformen auf sind, symbolisch erzeugte kommutative -Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu . Er wird mit
bezeichnet.
Es sei ein Körper, seien endlichdimensionale - Vektorräume und sei eine lineare Abbildung. Den durch
über gegebenen - Algebrahomomorphismus
nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine lineare Operation einer Gruppe auf . Es sei der Polynomring zu . Die Operation der Gruppe (von rechts) auf , die für jedes per Definition 4.5 durch die Zuordnung
festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.
Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man
als den Invariantenring (oder Fixring) von unter der Operation von .
Zu heißt die Untergruppe
der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.
Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra, auf der eine Gruppe als Gruppe von - Algebraautomorphismen operiere. Es sei
ein Charakter auf . Dann nennt man
die -relativen Invarianten oder Semiinvarianten bezüglich .
Es sei ein Unterring eines kommutativen Ringes . Man sagt, dass ein direkter Summand von ist, wenn es einen - Modul gibt mit (es liegt also ein - Modulisomorphismus vor).
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative Gruppe. Eine - Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
mit - Untermoduln gibt derart, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung
gilt.
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und
- graduierte - Algebra. Ein Ideal heißt homogen, wenn zu auch die homogenen Komponenten sind.
Es sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als - Modul ist
d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch
definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.
Zu einem kommutativen Monoid und einem kommutativen Ring nennt man einen Monoidhomomorphismus
auch einen -wertigen Punkt von .
Es sei ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen
mit der Addition
und der Identifikation
die Differenzengruppe zu .
Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid die Kürzungsregel gilt (oder dass ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung
stets folgt, dass ist.
Ein kommutatives Monoid heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente gibt derart, dass man jedes als
mit schreiben kann.
Ein kommutatives Monoid heißt spitz, wenn das einzige invertierbare Element in ist.
Ein kommutatives Monoid heißt torsionsfrei, wenn für aus für eine positive Zahl stets folgt.
Es sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe . Dann heißt das Untermonoid
die Normalisierung von .
Es sei eine - graduierte - Algebra und . Dann nennt man
den -ten Veronese-Ring von .
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form
eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Eine - Algebra heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form
besitzt.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).
Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form
wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .
Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.
Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.
Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Zu einem - Vektorraum und einer natürlichen Zahl nennt man die Menge der - dimensionalen Untervektorräume die -te Graßmann-Varietät. Sie wird mit und bei mit bezeichnet.
Es sei ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ) ist eine Gruppe der Form
wobei eine kommutative endlich erzeugte - Hopf-Algebra ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die Gruppe der invertierbaren -Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).
Zu einer affin-algebraischen Gruppe über einem Körper , die durch die kommutative - Hopf-Algebra gegeben sei, nennt man eine Operation von auf einer kommutativen - Algebra algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von auf gegeben ist.
Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.
Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .
Es sei ein Körper. Eine - graduierte kommutative - Algebra heißt positiv-graduiert, wenn für und ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen
nennt man Primidealkette der Länge (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit bezeichnet.
Zu einem kommutativen Ring nennt man die Menge der Primideale von das Spektrum von , geschrieben
Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge die Mengen
als offen erklärt werden.
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Zu einer weiteren -Algebra nennt man die Menge der - Algebrahomomorphismen
das -Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Eine Abbildung
heißt -multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel (mit ) die induzierte Abbildung
- linear ist.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Es sei der von sämtlichen Symbolen (mit ) erzeugte freie - Modul. Es sei der von allen Elementen der Form
- ,
- ,
erzeugte - Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul das Tensorprodukt der , . Es wird mit
bezeichnet.
Zu einem - Modul und einem Ringhomomorphismus
Es sei ein kommutativer Ring. Eine kommutative - Algebra heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte - Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)
und
gibt, derart, dass die Diagramme
und
kommutieren.
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum zusammen mit den induzierten - Morphismen
und
das zugehörige affine Gruppenschema.
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Hopf-Algebra und eine kommutative - Algebra. Unter einer Kooperation von auf versteht man einen - Algebrahomomorphismus
und
kommutieren.
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Hopf-Algebra und das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei
eine Kooperation von auf einem kommutativen Ring mit dem Spektrum . Dann nennt man den zu gehörenden - Morphismus
eine (-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas auf .
Es sei ein Körper und eine positiv-graduierte kommutative - Algebra mit der Eigenschaft, dass für jedes die Stufe endlichdimensional ist. Dann nennt man die Potenzreihe
die Hilbert-Reihe von .
Die endliche Gruppe operiere linear auf dem Polynomring . Dann nennt man die Potenzreihe
die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt
die Spur von .
Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man die Spur von , geschrieben .
Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form
wobei eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.
Eine endliche Untergruppe heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.
Es sei ein Körper. Zu einem Polynom
und , , heißt das Polynom
die formale partielle Ableitung von nach .
Eine lineare Abbildung
auf einem euklidischen Vektorraum heißt Isometrie, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.
Zu einem regelmäßigen -Eck () heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe .
Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im . Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes auftritt, eine Achse von . Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu gehörige Halbachsensystem. Es wird mit bezeichnet. Zwei Halbachsen heißen äquivalent, wenn es ein mit gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.
Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.
Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen mit Determinante bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper und . Die Restklassengruppe
heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.
Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.
Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in nullhomotop ist.
Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt , wenn es eine stetige Abbildung
derart gibt, dass die Eigenschaften
- ,
- ,
- für alle
gelten.
Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung
heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.
Es sei ein Körper und sei eine affin-algebraische Gruppe über . Unter einer -rationalen Darstellung von versteht man einen Gruppenhomomorphismus
mit einem endlichdimensionalen - Vektorraum (also eine Darstellung von ), die durch einen - Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu bzw. induziert wird.
Eine Darstellung
einer Gruppe in einem - Vektorraum heißt irreduzibel, wenn ist und wenn die einzigen - invarianten Untervektorräume und sind.
Eine Darstellung
einer Gruppe in einem - Vektorraum heißt vollständig reduzibel, wenn die direkte Summe aus - invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.
Eine affin-algebraische Gruppe über einem Körper heißt linear reduktiv, wenn jede - rationale Darstellung von vollständig reduzibel ist.
Es sei ein Körper und die Einheitsmatrix der Länge . Eine Matrix mit
heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein Körper und , wobei die Einheitsmatrix der Länge ist. Eine Matrix mit
heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit
bezeichnet.