Kurs:Körper- und Galoistheorie/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 0 2 3 0 0 0 8 0 0 2 0 0 0 4 0 3 3 31



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Unterkörper eines Körpers .
  2. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Die eulersche Funktion zu .
  5. Eine -graduierte -Algebra .
  6. Eine aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbare Gerade .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
  2. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung .
  3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei und betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei . Bestimme, ob die folgenden Permutationen auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln durch einen Körperautomorphismus des neunten Kreisteilungskörpers herrühren.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Quadratur des Kreises.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.