Kurs:Körper- und Galoistheorie/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	2	3	0	0	0	8	0	0	2	0	0	0	4	0	3	3	31

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Unterkörper eines Körpers ${}K$.
2. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

4. Die eulersche Funktion ${}\varphi (n)$ zu ${}n\in \mathbb {N}$.
5. Eine ${}D$-graduierte ${}K$-Algebra ${}A$.
6. Eine aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl ${}p$.
2. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}x={\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\in \mathbb {R}$ und betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (x)=L.$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von ${}x$ und das Inverse von ${}x$. (Man darf dabei verwenden, dass ${}{\sqrt {2}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/9}$. Bestimme, ob die folgenden Permutationen auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln ${}\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{4},\zeta ^{5},\zeta ^{7},\zeta ^{8}$ durch einen Körperautomorphismus des neunten Kreisteilungskörpers herrühren.

1. ${}x$	${}\zeta$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{8}$
   ${}\sigma (x)$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{8}$	${}\zeta$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{5}$

2. ${}x$	${}\zeta$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{8}$
   ${}\sigma (x)$	${}\zeta ^{8}$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta$

3. ${}x$	${}\zeta$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{8}$
   ${}\sigma (x)$	${}\zeta$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{8}$

4. ${}x$	${}\zeta$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta ^{7}$	${}\zeta ^{8}$
   ${}\sigma (x)$	${}\zeta ^{5}$	${}\zeta$	${}\zeta ^{2}$	${}\zeta ^{4}$	${}\zeta ^{8}$	${}\zeta ^{7}$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Quadratur des Kreises.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.