Kurs:Körper- und Galoistheorie/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	$\sum$
Punkte	3	3	0	0	2	3	0	0	0	8	0	0	2	0	6	0	4	0	3	3	37

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Unterkörper eines Körpers $K$.
2. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\phi :R⟶S$

   zwischen Ringen $R$ und $S$.

4. Die eulersche Funktion $\phi (n)$ zu  $n\in \mathbb{N}$. 
5. Eine $D$-graduierte $K$-Algebra $A$.
6. Eine aus einer Teilmenge $T\subseteq E$ einer Ebene $E$ elementar konstruierbare Gerade $G$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von $\mathbb{Z}/(p)$ für eine Primzahl $p$.
2. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 
3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei  $x=\sqrt{2}+\sqrt{5}\in ℝ$  und betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(x)=L.$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von $x$ und das Inverse von $x$. (Man darf dabei verwenden, dass $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei  $\zeta =e^{2\pi \mathrm{i}/9}$.  Bestimme, ob die folgenden Permutationen auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln $\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^4,{\zeta }^5,{\zeta }^7,{\zeta }^8$ durch einen Körperautomorphismus des neunten Kreisteilungskörpers herrühren.

1. $x$	$\zeta$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^5$	${\zeta }^7$	${\zeta }^8$
   $\sigma (x)$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^8$	$\zeta$	${\zeta }^7$	${\zeta }^5$

2. $x$	$\zeta$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^5$	${\zeta }^7$	${\zeta }^8$
   $\sigma (x)$	${\zeta }^8$	${\zeta }^7$	${\zeta }^5$	${\zeta }^4$	${\zeta }^2$	$\zeta$

3. $x$	$\zeta$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^5$	${\zeta }^7$	${\zeta }^8$
   $\sigma (x)$	$\zeta$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^5$	${\zeta }^7$	${\zeta }^8$

4. $x$	$\zeta$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^5$	${\zeta }^7$	${\zeta }^8$
   $\sigma (x)$	${\zeta }^5$	$\zeta$	${\zeta }^2$	${\zeta }^4$	${\zeta }^8$	${\zeta }^7$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei  $q\in \mathbb{Q}$  eine rationale Zahl, die in $\mathbb{Q}$ keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ des Polynoms $X^3-q$ über $\mathbb{Q}$. Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von $ℂ$ an.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der Ordnung $n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und ein Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Quadratur des Kreises.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.