Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K \subset K' \, (\subseteq \R)}{} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[ { \mathrm i} ] }
{ \subset }{ K'[{ \mathrm i}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine quadratische Körpererweiterung ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ist die Zahl, die den \anfuehrung{goldenen Schnitt}{} beschreibt, eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {konstruierbaren}{}{} komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es Matrizen
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{} derart gibt, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} aus
\mathl{\Q[X]}{} ist, dass in $M$ aber auch \definitionsverweis {transzendente}{}{} Einträge vorkommen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\Phi_{n}}{} das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} und es sei $p$ eine zu $n$ \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der Charakteristik $p$, in dem es eine $n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} $\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt
\mathdisp {\prod_{0 <i <n,\, \, i,n \, {\rm teilerfremd} } (X -\zeta^{i})} { }
zu
\mathl{\Z/(p)[X]}{} gehört und mit
\mathl{\Phi_{n}\!\!\! \mod p}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{} und $r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt $Z$ und Radius $r$ konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $P,Q_1,Q_2$ drei \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte derart, dass die Abstände \mathkor {} {d(P,Q_1)} {und} {d(P,Q_2)} {} gleich $1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden $90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {E=\R^2} {E=\R^2 } {} gibt, die \mathkor {} {0} {auf} {P} {,} \mathkor {} {1} {auf} {Q_1} {} und \mathkor {} {{ \mathrm i}} {auf} {Q_2} {} schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten \zusatzklammer {bei \anfuehrung{gleichstufiger Stimmung}{}} {} {} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Konstruktion einer reellen Zahl $x$ mit Hilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von $\sqrt{\pi}$ kleiner als
\mathl{0{,}00001}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ re^{ { \mathrm i} \varphi} }
{ = }{ r \left( \cos \varphi , \, \sin \varphi \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist, wenn $r$ und $e^{ { \mathrm i} \varphi}$ konstruierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer \definitionsverweis {konstruierbaren}{}{} komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe soll eine Eigenschaft bewiesen werden, die in der Tabelle über Kreisteilungspolynome modulo p sichtbar wurde.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\Phi_{n}}{} das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} und es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass das Polynom
\mathl{(\Phi_{n}\!\!\! \mod p) \in \Z/(p)[X]}{} das Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Polynomen}{}{} ist, die alle den gleichen \definitionsverweis {Grad}{}{} besitzen.

}
{} {Tipp: Reduziere auf den Fall, wo \mathkor {} {n} {und} {p} {} teilerfremd ist.}