Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 25

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn alle Konjugationsklassen einelementig sind.


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe und seien konjugierte Elemente. Zeige, dass und die gleiche Ordnung besitzen.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe und sei eine Untergruppe des Zentrums von . Zeige, dass ein Normalteiler in ist.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung , , das zeigt, dass zu einem Element die reellen Koordinaten und nicht zu gehören müssen.


Aufgabe *

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und sei

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass gilt.

b) Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe

Es sei eine konstruierbare Zahl. Zeige, dass der erzeugte Unterkörper eine Radikalerweiterung von ist.


Aufgabe

Es sei eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von ebenfalls konstruierbar ist.


Aufgabe

Es sei eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass der Zerfällungskörper von eine Radikalerweiterung von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien endliche Körpererweiterungen. Es sei ein irreduzibles Polynom, dass über in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper enthalte keine Nullstelle von . Folgt daraus, dass irreduzibel über ist?


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung , , derart, dass die komplexe Konjugation sich nicht auf einschränken lässt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Körpererweiterung in und es sei der Unterkörper, der aus allen konstruierbaren Zahlen in besteht. Zeige, dass für jeden Automorphismus die Beziehung gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung und seien Elemente, die eine -Basis von bilden. Sei , . Zeige, dass auch eine -Basis von bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome immer ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien algebraische Zahlen.

a) Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom derart gibt, dass man alle als -Linearkombination von Potenzen der Nullstellen von schreiben kann.

b) Zeige, dass es kein irreduzibles Polynom derart geben muss, dass alle Nullstellen von sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Es sei ein Element derart, dass , , eine -Basis von bildet. Wir betrachten das Polynom

Zeige, dass die Koeffizienten von zu gehören, dass in irreduzibel ist und dass der Zerfällungskörper von über ist.


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