Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn alle Konjugationsklassen einelementig sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}x,y\in G$ konjugierte Elemente. Zeige, dass ${}x$ und ${}y$ die gleiche Ordnung besitzen.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}H\subseteq Z$ eine Untergruppe des Zentrums von ${}G$. Zeige, dass ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen ${}\sigma ,\tau \in S_{n}$ genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$, ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$, das zeigt, dass zu einem Element ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in K$ die reellen Koordinaten ${}a$ und ${}b$ nicht zu ${}K$ gehören müssen.

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei

$\kappa \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass ${}\kappa (K)\subseteq K$ gilt.

b) Zeige, dass ${}\kappa {|}_{K}=\operatorname {Id} _{K}$ genau dann gilt, wenn ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl. Zeige, dass der erzeugte Unterkörper ${}\mathbb {Q} (z)$ eine Radikalerweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von ${}F$ ebenfalls konstruierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass der Zerfällungskörper von ${}F$ eine Radikalerweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}K\subseteq L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen. Es sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dass über ${}M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper ${}L$ enthalte keine Nullstelle von ${}F$. Folgt daraus, dass ${}F$ irreduzibel über ${}L$ ist?

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$, ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$, derart, dass die komplexe Konjugation sich nicht auf ${}K$ einschränken lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung in ${}{\mathbb {C} }$ und es sei ${}K\subseteq L$ der Unterkörper, der aus allen konstruierbaren Zahlen in ${}L$ besteht. Zeige, dass für jeden Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ die Beziehung ${}\varphi (K)\subseteq K$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ immer ${}1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ algebraische Zahlen.

a) Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ derart gibt, dass man alle ${}\alpha _{i}$ als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von Potenzen der Nullstellen von ${}F$ schreiben kann.

b) Zeige, dass es kein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ derart geben muss, dass alle ${}\alpha _{i}$ Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}z\in L$ ein Element derart, dass ${}\varphi (z)$, ${}\varphi \in G$, eine ${}K$- Basis von ${}L$ bildet. Wir betrachten das Polynom

$F=\prod _{\varphi \in G}(X-\varphi (z)).$

Zeige, dass die Koeffizienten von ${}F$ zu ${}K$ gehören, dass ${}F$ in ${}K[X]$ irreduzibel ist und dass ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K$ ist.