Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Aufgabe

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.

Aufgabe

Es sei ein Kreis ${}K$ und ein Punkt ${}P\in K$ gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch ${}P$.

Aufgabe *

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.

Aufgabe

Bestimme für alle ${}n\leq 30$, ob das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom ${}X^{3}-3X-1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+2X^{2}-5$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ irreduzibel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Kreis ${}K$ und ein Punkt ${}P$ außerhalb des Kreises gegeben. Konstruiere eine der Tangenten an den Kreis, die durch ${}P$ läuft.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,$

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es nicht für jede konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ einen Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ mit ${}z\in K_{n}$ gibt.