Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P \in K$ gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch $P$ .

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.

Bestimme für alle $n \leq 30$ , ob das regelmäßige $n$ -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Zeige mithilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom $X^{3} - 3 X - 1$ irreduzibel in $ℚ [X]$ ist.

Zeige, dass das Polynom $X^{3} + 2 X^{2} - 5$ in $ℚ [X]$ irreduzibel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises gegeben. Konstruiere eine der Tangenten an den Kreis, die durch $P$ läuft.

Beweise die Formel

\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Beweise die Formel

X^{u} + 1 = (X + 1) (X^{u - 1} - X^{u - 2} + X^{u - 3} - \dots + X^{2} - X + 1)

für $u$ ungerade.

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in $ℂ$ .

Zeige, dass es nicht für jede konstruierbare Zahl $z \in ℂ$ einen Kreisteilungskörper $K_{n}$ mit $z \in K_{n}$ gibt.