Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 3/latex

\setcounter{section}{3}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} { K[X] } { L } { P } { P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P,Q }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P + Q)(a) }
{ = }{ P(a) +Q(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a) }
{ = }{ P(a) \cdot Q(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1(a) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $\Z$ und von
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein Körper sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3 }
{ \subseteq} {\ldots }
{ } { }
} {}{}{} eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine \zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge der Faktoren} {} {} eindeutige Produktdarstellung
\mathdisp {F = a F_1 \cdots F_r} { }
mit
\mathl{a \in K^{\times}}{} und \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} \definitionsverweis {normierten}{}{} Polynomen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {,} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Z[X]$ und der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine \definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte \definitionsverweis {irreduzible}{}{} Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad \mathkor {} {1} {oder} {2} {} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass man auf folgende Weise einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ konstruieren kann, der $R$ enthält.

Wir betrachten auf
\mathdisp {M= R \times (R \setminus{\{0\} })} { }
die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad = bc} { , }
definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Definiere auf der \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} $Q(R)$ \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} derart, dass $Q(R)$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird und dass \maabbeledisp {\varphi} {R} {Q(R) } {r} {[ (r,1)] } {,} mit Addition und Multiplikation verträglich ist und $\varphi(1)=1$ gilt.

}
{} {}