Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 3

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe

Bestimme die Einheiten von und von , wobei ein Körper sei.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

mit und irreduziblen normierten Polynomen , , gibt.


Aufgabe

Zeige, dass und der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper keine Hauptidealbereiche sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in die irreduziblen Polynome.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper konstruieren kann, der enthält.

Wir betrachten auf

die durch
definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge Verknüpfungen derart, dass zu einem Körper wird und dass

mit Addition und Multiplikation verträglich ist und gilt.


<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)