Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 4

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\phi :G\to H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass  $\phi (e_G)=e_H$  und  $(\phi (g){)}^{-1}=\phi (g^{-1})$  für jedes  $g\in G$  gilt.

Aufgabe *

Es sei $G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente  $g\in G$  und Gruppenhomomorphismen $\phi$ von $\mathbb{Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz

$g⟼(n\mapsto g^n)\text{ und }\phi ⟼\phi (1)$

entsprechen.

Aufgabe *

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

${\phi }^{-1}:H⟶G,h⟼{\phi }^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von $\phi$ eine Untergruppe von $H$ ist.

Aufgabe *

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen $(ℝ,0,+)$ und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen $({ℝ}_{+},1,\cdot )$.

Aufgabe

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne Null,

${ℂ}^{\times }=(ℂ\setminus \{0\},\cdot ,1).$

Bestimme für jedes  $n\in \mathbb{N}$  den Kern des Potenzierens

${ℂ}^{\times }⟶{ℂ}^{\times },z⟼z^n.$

Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Determinante

${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)⟶(K\setminus \{0\},\cdot ,1),M⟼detM,$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Man gebe für jedes $n\in \mathbb{N}$ eine invertierbare Matrix $M\in {\mathrm{GL}}_2\left(ℝ\right)$ an, derart, dass die Ordnung von $M$ gleich $n$ ist.

Aufgabe *

Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element  $g\in G$  eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^0=e_G,g^1=g,g^2,\dots ,g^{\mathrm{ord}(g)-1}$

alle verschieden sind.

Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
a)  $(\mathbb{Z},0,+)\subseteq (ℝ,0,+)$. 
b)  $(\mathbb{Q},0,+)\subseteq (ℝ,0,+)$. 
c)  $(ℝ,0,+)\subseteq (ℂ,0,+)$. 
d)  $(\mathbb{Z}d,0,+)\subseteq (\mathbb{Z},0,+)$  (zu $d\in \mathbb{N}$).
e)  $(\{z\in ℂ\mid |z|=1\},1,\cdot )\subseteq (ℂ\setminus \{0\},1,\cdot )$. 
f)  $(\{z\in ℂ\mid z^n=1\},1,\cdot )\subseteq (\{z\in ℂ\mid |z|=1\},1,\cdot )$  (zu $n\in \mathbb{N}$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?

Aufgabe *

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null $(ℂ\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen $({ℝ}_{+},\cdot ,1)$.

Was ist der Kern dieser Abbildung?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right).$

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${\mathbb{Q}}^2$ nach ${\mathbb{Q}}^2$ und ebenso von ${\mathbb{Z}}^2$ nach ${\mathbb{Z}}^2$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass das Potenzieren

$G⟶G,x⟼x^n,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von $(\mathbb{Q},+,0)$ nach $(\mathbb{Z},+,0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jedes $n\in \mathbb{N}$ eine invertierbare Matrix $M\in {\mathrm{GL}}_k\left(\mathbb{Q}\right)$ an (dabei sei $k$ geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von $M$ gleich $n$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $G$ eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement $g$ gilt $g^2=e$. Zeige, dass die Gruppe $G$ dann abelsch ist.