Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 4

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.


Aufgabe *

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen .


Aufgabe

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens

Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an, derart, dass die Ordnung von gleich ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

alle verschieden sind.


Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. ().
  5. .
  6. ().

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?


Aufgabe *

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .

Was ist der Kern dieser Abbildung?



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an (dabei sei geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement gilt . Zeige, dass die Gruppe dann abelsch ist.



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