Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 2

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

() direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.


Aufgabe *

Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und . Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.


Aufgabe

Es sei und es seien die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette

von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, so dass alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über einen Körper bildet.

(Dieser Körper wird mit bezeichnet.)

Aufgabe

Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
  2. Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine -Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte

eindeutig festgelegt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.



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