Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 2

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

$x^{3}+px=0$

($p\in {\mathbb {C} }$) direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.

Aufgabe *

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und  ${}f\in L$.  Zeige, dass die Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto fx,$

${}K$- linear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}X^{3}+pX+q\in \mathbb {Q} [X]$  und es seien  ${}\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in {\mathbb {C} }$  die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette

${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L\subseteq M\,$

von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, sodass ${}M$ alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$  nicht endlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über ${}\mathbb {R}$ einen Körper bildet.

(Dieser Körper wird mit ${}\mathbb {R} (X)$ bezeichnet.)

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}n\in \mathbb {N}$  und sei ${}M$ die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$. Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}a\in K$  und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn  ${}b_{1},b_{2}\in K$  zwei Lösungen der Gleichung  ${}X^{n}=a$  sind und  ${}b_{2}\neq 0$,  so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn  ${}b\in K$  eine Lösung der Gleichung  ${}X^{n}=a$  und ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung  ${}X^{n}=a$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}K\subseteq \mathbb {R}$  ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]$ ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei  ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$  eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}L$ durch die Produkte

$x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${}K\cap L=\mathbb {Q} \,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Körpererweiterung  ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$,  wobei ${}\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.