Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ein Unterring ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das Bild eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A \subseteq \Q}{} die Menge derjenigen \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{,} die eine abbrechende \definitionsverweis {Dezimalentwicklung}{}{} besitzen. Zeige, dass $A$ ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ ist und bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $A$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^3+4X-3$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto X^2+X-1}{} definierten \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabb {} {K[X]} {K[X] } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixiertes Element. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} des \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {K[X]} {K } {X} {a } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} und
\mathl{f \in M}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $f$ über $K$ mit dem Minimalpolynom von
\mathl{f}{,} aufgefasst in $L$, über $K$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ \operatorname{C}^0 \, (\R, \R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ring der stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von $C$ einen \definitionsverweis {Unterring}{}{} bilden. \aufzaehlungdrei{Die Menge der stetigen $2 \pi$-\definitionsverweis {periodischen}{}{} Funktionen. }{Die Menge der stetigen \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{.} }{Die Menge der stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R \text{ oder } {\mathbb C}}{} und es sei
\mathl{D_{\mathbb K}=\operatorname{C}^1({\mathbb K},{\mathbb K})}{} der \definitionsverweis {Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen}{}{} von ${\mathbb K}$ nach ${\mathbb K}$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\Psi} {{\mathbb K}[X]} {D_{\mathbb K} } {X} { \operatorname{Id}_{ {\mathbb K} } } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist. Bestimme die Polynome
\mathl{F \in {\mathbb K}[X]}{,} für die
\mathl{\Psi(F)}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $D_{\mathbb K}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^4-2X^2+5X-2$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto 2X^3+X-1}{} definierten \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabb {} {K[X]} {K[X] } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X \mapsto P$ definierte \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[P] }
{ \subseteq }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zum Polynomring in einer Variablen ist.

}
{Zeige, dass bei $\operatorname{grad} \, (P) \geq 2$ ein echter Unterring $K[P] \subset K[X]$ vorliegt.} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte den \definitionsverweis {Matrizenring}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_3(K)}{} und darin die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\1 & 4 & 7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Definiere einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {K[X]} { \operatorname{Mat}_3(K) } {,} der $X$ auf $M$ schickt. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} dieser Abbildung.

}
{} {}