Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 5

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern ${}N_{i}$, ${}i\in I$, in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit dem (nach Lemma 4.4) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Satz 5.12.

In der folgenden Aufgabe wird das Zentrum einer Gruppe verwendet.

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Das Zentrum ${}Z=Z(G)$ von ${}G$ ist die Teilmenge

${}Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ${}Z\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

$\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine Partition von ${}M$, d.h. jedes ${}M_{i}$ ist eine Teilmenge von ${}M$ und ${}M$ ist die disjunkte Vereinigung der ${}M_{i}$. Zeige, dass die Produktgruppe

$\prod _{i\in I}\operatorname {Perm} \,(M_{i})$

eine Untergruppe von ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

${}a_{\pi (i),i}=1\,$

ist und alle anderen Einträge ${}0$ sind. Zeige, dass

${}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$

ist.

Aufgabe *

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}4$ an.

Aufgabe

Es sei ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Menge der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen über einem Körper ${}K$. Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen ${}M$ und ${}N$ aus ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}R$ auf ${}G$, wobei ${}xRy$ bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus ${}\kappa _{g}$ mit ${}x=\kappa _{g}(y)$ gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer Gruppe ${}G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}S_{3}$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge ${}\{1,2,3\}$ in sich selbst. Bestimme die Konjugationsklassen dieser Gruppe.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}H$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}3$ an.