Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass zu einem \definitionsverweis {Untermonoid}{}{}
\mathl{M\subseteq D}{} der $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\oplus_{d \in M} A_d} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $A$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass zu einem Untermonoid
\mathl{M \subseteq D}{} der $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\oplus_{d \in M} A_d} { }
ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $A$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {M= { \left\{ d\in D \mid A_d \neq 0 \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{} von $D$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{D^{ \vee } = \operatorname{Char} \, (D, K )}{} die \definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{} zu $D$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {
\mathl{D^{ \vee }}{} ist eine kommutative Gruppe. } {Bei einer \definitionsverweis {direkten Gruppenzerlegung}{}{}
\mathl{D=D_1 \times D_2}{} ist
\mathl{(D_1 \times D_2)^{ \vee } = D_1 ^{ \vee } \times D_2^{ \vee }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi }
{ \in }{ D^{ \vee } }
{ = }{ \operatorname{Char} \, (D, K ) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Charakter}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\chi (d)}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} in $K$ ist.

}
{} {}

Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Ein $K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {A} {A } {} heißt \definitionswort {homogen}{,} wenn für jedes \definitionsverweis {homogene Element}{}{}
\mathl{a \in A_d}{} gilt
\mathl{\varphi(a ) \in A_d}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass der in Lemma 9.11 zu einem \definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} eingeführte Automorphismus \maabbdisp {\varphi_\chi} {A} {A } {} \definitionsverweis {homogen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G}{} die Menge der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} und $U$ die Menge der stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{C}^0 \, (\R, \R) = G \oplus U} { }
eine $\Z/(2)$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Zeige: $F$ zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $A$ eine $D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {A} {A } {} ein \definitionsverweis {homogener Automorphismus}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} mit
\mathl{\varphi=\varphi_\chi}{} gibt, wobei $\varphi_\chi$ der gemäß Lemma 9.11 zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man $\sqrt{3}$ nicht als $\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{} von \mathkor {} {1} {und} {\sqrt{2}} {} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}] }
{ =} {L }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass einerseits
\mathl{1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}}{} und andererseits
\mathbed {(\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i}} {}
{i=0,1,2,3} {}
{} {} {} {,} eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bildet. Berechne die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} für diese Basen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {Es gibt eine stetige Funktion \maabbdisp {g} {\R_{\geq 0}} {{\mathbb C} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z) }
{ = }{g ( \betrag { z }) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Für alle $n$-ten Einheitswurzeln
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {alle
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (\zeta z) }
{ = }{ f(z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}