Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$, ${}\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.

Aufgabe

Konstruiere einen Körper ${}{\mathbb {F} }_{9}$ mit ${}9$ Elementen.

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{9}$ für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}F$ ein Körper mit ${}p^{2}$ Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ und ${}F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

Aufgabe

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}44!$ modulo ${}47$.

Aufgabe

Bestimme die Zerlegung von ${}X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(17)$ und ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Konstruiere zu einer Primzahl ${}p$ einen Körper mit ${}p^{2}$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32$ und ${}49$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} /(3)[Z]/(Z^{2}+1)$ der Körper mit ${}9$ Elementen (${}z$ bezeichne die Restklasse von ${}Z$). Führe in ${}\mathbb {F} _{9}[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{4}+(1+2z)X^{3}+zX^{2}+2X+2+z$ und ${}T=(z+1)X^{2}+zX+2$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit ${}25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?