Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 10

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , , , und .


Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe

Sei eine ungerade Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.


Aufgabe

Konstruiere einen Körper mit Elementen.


Aufgabe

Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und ein Körper mit Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen und gibt es? Man betrachte beide Richtungen.


Aufgabe

a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Aufgabe

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe

Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , und .


Aufgabe (5 Punkte)

Konstruiere zu einer Primzahl einen Körper mit Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Körper mit Elementen ( bezeichne die Restklasse von ). Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?



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