Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 9

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${}M\subseteq D$ der ${}K$- Vektorraum

$\oplus _{d\in M}A_{d}$

ein Unterring von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${}M\subseteq D$ der ${}K$- Vektorraum

$\oplus _{d\in M}A_{d}$

ein Unterkörper von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

$M={\left\{d\in D\mid A_{d}\neq 0\right\}}$

ein Untermonoid von ${}D$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$ die Charaktergruppe zu ${}D$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. ${}D^{\vee }$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ${}D=D_{1}\times D_{2}$ ist ${}(D_{1}\times D_{2})^{\vee }=D_{1}^{\vee }\times D_{2}^{\vee }$.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}\chi \in D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$ ein Charakter. Zeige, dass ${}\chi (d)$ für jedes ${}d\in D$ eine Einheitswurzel in ${}K$ ist.

Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}K$- Algebra. Ein ${}K$- Automorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element ${}a\in A_{d}$ gilt ${}\varphi (a)\in A_{d}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass der in Lemma 9.11 zu einem Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ eingeführte Automorphismus

$\varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A$

homogen ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und ${}U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass

$\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U$

eine ${}\mathbb {Z} /(2)$- graduierte ${}\mathbb {R}$- Algebra ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ mit ${}\varphi =\varphi _{\chi }$ gibt, wobei ${}\varphi _{\chi }$ der gemäß Lemma 9.11 zu ${}\chi$ gehörige Automorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.$

Zeige, dass einerseits ${}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}$ und andererseits ${}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle ${}n\in \mathbb {N}$) ist ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.