Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 9

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid der -Vektorraum

ein Unterring von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid der -Vektorraum

ein Unterkörper von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

ein Untermonoid von ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe, ein Körper und die Charaktergruppe zu . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. ist eine kommutative Gruppe.
  2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ist .


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe, ein Körper und ein Charakter. Zeige, dass für jedes eine Einheitswurzel in ist.


Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Ein -Automorphismus

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element gilt .


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass der in Lemma 9.11 zu einem Charakter eingeführte Automorphismus

homogen ist.


Aufgabe

Es sei die Menge der stetigen geraden Funktionen und die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von nach . Zeige, dass

eine -graduierte -Algebra ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter mit gibt, wobei der gemäß Lemma 9.11 zu gehörige Automorphismus ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass man nicht als -Linearkombination von und schreiben kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass einerseits und andererseits , , eine -Basis von bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt eine stetige Funtion

    mit für alle .

  2. Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .


<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)